本科数学类毕业论文本科数学毕业论文.doc

分院名称： 学生学号： 本科毕业论文（设计） （理工类） 题 目： 算术基本定理及其应用 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 20年 5 月 目 录 承诺保证书…………………………………………………………………I 1 算术基本定理的讨论 …………………………………………………1 2 算术基本定理及其证明……………………………………………1 2.1 算术基本定理………………………………………………………………2 2.1.1 算术基本定理内容……………………………………………………2 2.1.2 算术基本定理证明……………………………………………………2 2.2 正整数n的正约数的个数及正约数的和 ………………………………… 3 3 算术基本定理的应用…………………………………………………3 3.1 涉及正因数个数方面的应用………………………………………………4 3.2 涉及互质、整除方面的应用………………………………………………9 3.3 涉及其他方面的应用………………………………………………………11 4 算术基本定理的延拓…………………………………………………13 参考文献……………………………………………………………………15英文摘要……………………………………………………………………16 算术基本定理及其及其应用 摘要：算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究.它所体现的唯一因数分解的思想，在现代交换环理论中起着重要的作用.唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：“存在性和唯一性”.文中剖析了算术基本定理的含义,证明了算术基本定理,并通过实例讨论了算术基本定理涉及到正因数个数、互质及整除，以及涉及到算术基本定理方面的应用,使我们对算术基本定理更加熟悉并能熟练的应用它解决问题. 关键词：算术基本定理 唯一因子分解 存在性 唯一性 在高中阶段,我们早已步入了“算术基本定理”的世界,它是那么的神秘莫测,让人难以琢磨,但他又是在数学领域中我们不可缺少的帮手.算术基本定理是经过知识不断发展起来的一门科学,算术是素数基本概念的推广.我们知道算术是素数与素数之间的关系,我们真可感觉到素数已经让我们感到头痛了,可想而知算术的难理解程度,显而易见它的应用将是一个更高的台阶.但通过学习算术使我认识了一个“新朋友”,它就是“算术基本定理”.有了这个定理之后,使我轻松的解决了很多关于算术基本定理的一系列问题,使我在有关这个定理方面有了更好的了解. 1 算术基本定理的讨论 大约公元前350年，欧几里得在他伟大的十三卷著作《原本》中，用了许多篇幅来讨论素数.特别是他证明了每一个比1大的数（即每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数的在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的.例如：14=27，21=37，等等。等号右边的表达式分别是数14与21的“素数分解”.这样我们能把欧几里得的结果表达为：每一个大于1的计数数要么是素数，要么具有唯一的（次序变化不计）素数分解.这个事实被称为算术基本定理. 算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究.它所体现的唯一因数分解的思想，在现代交换环理论中起着重要的作用，唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：“存在性和唯一性”.所谓“存在性”就是指一个因素可以分解为有限多个不可约因子的乘积；“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的.唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算数基本定理. 2 基础知识 2.1 算术基本定理 2.1.1算术基本定理内容 每个大于1的正整数均可分解成有限个质数的积.如果不计质因数在乘积中的次序，则其分解方式是唯一的，即 =…，其中，为质数，（=1,2,…,）. 2.1.2 算术基本定理证明 首先将命题等价为如下进行证明：设N为大于1的整数，且 =…… =…c… （、均为素数) 求证：在等式=……