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第五章 线性系统的频域分析
§5.1 频率特性的概念
§5.2 典型环节的频率特性
§5.4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性
§5.3 系统的开环频率特性
§5.5 利用开环频率特性分析系统性能
§5.6 利用闭环频率特性分析系统性能
本章重点
开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图);
乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用;
对数频率特性和闭环系统性能的关系;
开环频率特性指标;
闭环频率特性指标。
本章难点
开环频率特性的绘制;
乃奎斯特判据的原理及其应用;
剪切频率及相角、幅值裕度的求取;
二阶系统频率特性指标和时域指标的换算;
典型二型系统频、时域指标的定性关系。
时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。
正弦输入信号的作用下,系统输出的稳态分量称为频率响应。
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。
是一种图解分析法,不仅可以反映系统的稳态性能,而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。
具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
§5.1 频率特性的概念
设系统结构如图,
由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦,
Ar=1 ω=0.5
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
曲线如下:
给稳定的系统输入一个正弦,其稳态输出是与输入
同频率的正弦,幅值随ω而变,相角也是ω的函数。
A
B
相角问题
① 稳态输出迟后于输入的角度为:
②该角度与ω有
A
B
③该角度与初始
例:如图所示电气网络的传递函数为
若输入为正弦信号:
其拉氏变换为:
输出拉氏变换为:
其拉氏反变换为:
一、频率特性的定义
其稳态响应为:
上式表明:
对于正弦输入,其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低,相角滞后。
输入输出为正弦函数时,可以表示成复数形式,设输入为Xej0,输出为Yejφ,则输出输入之复数比为:
—幅值频率特性
—相角频率特性
频率特性的定义:
线性定常系统(或元件)的频率特性是指:在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。
例题中输入信号的复数表示为:
例题中输出信号的复数表示为:
它们之比为:
0
1
0.890
0.707
0.447
0.316
0.243
0.196
0
0
-26.5
-45.0
-63.4
-71.6
-76.0
-78.7
-90
幅频特性和相频特性数据
频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。
二、频率特性与传递函数的关系
线性定常系统的传递函数表达式为
输入为r(t)=Msin(ωt),
若无重极点,上式可写为
若系统稳定,pi都具有负实部,则稳态分量为:
G(jω)是一复数,可写为
得到线性系统的幅频特性和相频特性:
频率特性和传递函数的关系为
系统的频率特性也是输入信号的氏变换和输出信号的傅氏变换之比。
系统的单位脉冲响应为:
其中
经过傅氏反变换
三、频率特性的几种图示方法
1. 幅相频率特性曲线
它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquist曲线。
系统的频率特性可表示为:
对某一固定频率ω1
在极坐标系中画出该向量。
ω从-∞→+∞变换时该向量在极坐标系中形成的曲线,称为Nyquist曲线。
实频特性是ω的偶函数,虚频特性是ω的奇函数。为什么?
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
-45
0.71
-63.4 -68.2 -76 -84
0.45 0.37 0.24 0.05
2. 对数频率特性曲线(Bode图)
在半对数坐标纸上绘制,由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。
频率的对数分度
半对数坐标:横坐标不均匀,而纵坐标是均匀刻度。
十倍频程
十倍频程
十倍频程
十倍频程
十倍频程
对数幅频特性:
指G(jω)的对数值20lg|G(jω)|和频率ω的关系曲线。
对数相频特性:
指G(jω)的相角值φ(ω)和频率ω的关系曲线。
即纵坐标
L(ω)称为对数幅值,单位是dB(分贝)。
纵坐标是的单位是“ °”。采用线性刻度。
采用对数坐标图的优点:
(1)将低频段展开,将高频段压缩。
(2)当系统由多个环节串联而成时,简化运算。
…
(3)所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。
(4)容易将频率实验数据用分段直线拟合,从而得到对数频率特性或传递函数。
3. 对数幅相特性曲线(Nichols图)
由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。
可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数,作为评估系统性能的依据。
§5.2 典型环节的频率特性
、典型环节的幅相频率
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