统计学第三章解读.doc

第三章 集中量 教学目的: 通过本章学习，同学们应理解集中量.算术平均数.中位数.众数.几何平均数等基本概念，了解各种集中量指标的优缺点和用途，并熟练掌握各种集中量指标的计算方法。 统计表和统计图只是简明.概括.直观的反映了一组数据的分布特征，这对于统计分析还是不够的。为了进一步分析研究，比较精确地把握一组数据的分布特征，还需计算出反映一组数据分布特征的统计量，【如】：集中量.差异量等。 集中量：是表示一组数据典型水平或集中趋势的量。集中量是一组数据整体水平的代表量。不同群体间学生成绩比较时，需要用集中量指标。常用的集中量指标有算术平均数.中位数.众数.加权平均数.几何平均数和调和平均数。 第一节算术平均数 一、算术平均数的概念 1.算术平均数：是一组数据的总和除以数据的总个数所得之商，简称为平均数或均值，一般用表示。 表示一组数据的总和，N表示数据的个数。 2.算术平均数有以下几个特点： （1）一组数据的总和等于该组数据的个数与该组数据平均数的乘积。 （2）各个数据与平均数的离差和等于零，即 （3）若一组数据由若干个部分组成，则这组数据的平均数可由各部分平均数合并而得。 二、算术平均数的计算方法 1.原始数据计算法 利用定义公式（3.1）计算。 【如】：5名学生的外语成绩为：79.62.84.90.71，则这5名学生的外语平均成绩为： 2.频数分布表计算法 我们以40名学生的数学成绩频数分布表为例，说明其计算方法。 表3.140名学生数学分数频数分布表 分数 60—— 65—— 70—— 75—— 80—— 85—— f 6 8 12 5 5 4 Xc 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5 Xc为各组的组中值（可看作各组f数据的平均数）.f为各组组频数，N=Σf，则 注意：公式（3.2）的逻辑意义。 3.1 40个分数的平均数为： Xc的值一般统计表中不标出，计算时需同学们自己确定。 三、算术平均数的优缺点 （一）算术平均数的优点 1.反映灵敏； 2.严密确定； 3.简明易懂，计算方便； 4.适合代数运算； 5.受抽样变动影响较小。 （二）算术平均数的缺点 1.易受两极端值的影响； 2.某个数据模糊不清时，就无法计算算术平均数。 注：算术平均数是应用最广的一个集中量指标。 第二节中位数 一、中位数的概念 中位数：是位于按一定大小顺序排列的一组数据中央位置的那个数，在它上下各有一半频数分布着（中位数用Md表示）。 二、中位数的计算方法 （一）原始数据计算法 利用原始数据计算时，要注意数据的个数是奇数还是偶数。 【如】：81.84.89.90.93。 这组数据的中位数就是Md=89。 2.当数据个数N为偶数时，中位数为中央位置上两个数据的平均数。 即第与第两个数的平均数。 【如】：81，84，89，90，93，95。 这组数据的中位数为：Md=（89+90）÷2=89.5 注意：在计算中位数时，首先是将数据按大小顺序排列。 （二）频数分布表计算方法 利用频数分布表计算中位数有两种方法： 1.是按由小到大的方向计算 二者的原理是一致的，我们以由小到大的方向计算来分析。 表3.250个英语分数的频数分布表 分数 频数f 累积频数 85—— 5 50 80—— 12 45 75—— 20 33 70—— 10 13 65—— 3 3 （1）确定中位数所在组 （2）确定中位数所在组所取多少个频数与频数的距离 Md的值肯定大于该组的下限（Lmd），也就是Md的值是在Lmd的值上再加上一定的数值，那么该加多少呢？ 我们从表中可知，75——这一组的组频数fmd =20，这一组的起止范围为75～ （3）求出中位数 从上述分析中我们可以得出： 注： ①.Lmd为中位数所在组的下限； ②.n1为与Lmd相邻的那一组的累积频数； ③.fmd为Md所在组的组频数； ④.i为组距。 表3.2中50分数的中位数为： 利用公式（3.3）计算中位数时，关键是要确定Md所在组以及Lmd.fmd和n1的值。 2.是按由大到小的方向计算 同理，我们可得出按由大到小的方向计算Md的公式： 与公式3.3不同的是Umd为Md所在组的上限，n2为上限Umd以上各组频数总和。 在表3.2中，Umd=80，n2=17，fmd=20. 3.特殊情况：完全对称条件下的计算 三.百分位数的概念及其计算方法 1.百分位数的概念 百分位数：是指位于按大小顺序排列的一组数中某一百分位置的数据。常用Pp表示。 【如】： 第80百分位数（P80），假定P80=78，它的含义是指在一组数据中，比78小的数据个数占数据总个数的80%，而大于