点集拓扑学(第一章1.1)解读.ppt

宁德师专数学系 宁德师范高等专科学校 本课程是一门现代数学基础课程，介绍拓扑学的比较容易掌握和比较有应用价值的基础概念和基本方法。 通过这门课程的学习，使学生在掌握拓扑学基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决，提高他们的数学素养。 Euler示性数 对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。 欧拉定理告诉我们， 简单多面体的顶点数 V、棱数E及面数F间 有关系： V+F-E=2。 四色问题 四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一 , 四色问题的内容是： “任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” “将平面任意地细分为不相重迭 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。” 数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。 一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，最后成功地证明了四色问题。 M?bius带 数学上流传着这样一个故事： 先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？ “麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。  拓扑的来源 “拓扑（Topology）”一次来自希腊文，它的原意是“形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性——拓扑属性。 拓 扑 学 的 形 成 和 发 展 拓扑学是研究图形在保持连续状态下变形时的那些不变的性质，也成为“橡皮板几何学”。 例子： 设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。 我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想象皮表面有一个多边形，里面有一个点。 当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所以：“点的内置”是拓扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸和压缩就是拓扑变换。 在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之间的关系总是不圆满的。 因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表示它们之间的空间关系。（如下图） 拓扑还是描述目标间关系需要 Longitude/Latitude投影 Gauss-Krivger投影 从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。拓扑关系能够从质的方面和整体的概念上反映空间实体的空间结构关系。 研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将是十分重要的。 黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 拓扑学的发展的促进 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 拓扑学发展到今天，在理论上已经分成了两个分支： 点集拓扑学偏重于用分析的方法来研究，或者叫做分析拓扑学 代数