代数系统(离散数学)综述.ppt

*/55 同态函数 定义2：设（A，*），（A1，·）是两个代数系统， *是A上的一个二元运算， ·是A1上一个二元运算。 一个函数f：A→A1是A到A1的同态函数，若对于A中的任意两个元素a，b，有 f（a*b）=f（a）·f（b） ■ 若f是单射，说f是单一同态函数； ■ 若f是满射，说f是满同态函数； ■ 若f是双射，说f是同构函数。 */55 单同态、满同态、同构 两个代数系统之间若存在单一同态函数，说这两个代数系统是单同态的； 两个代数系统之间若存在满同态函数，说这两个代数系统是满同态的； 两个代数系统之间若存在同构函数，说这两个代数系统是同构的。 */55 例(p176) Z是整数集，Z上的二元运算是数的加法，即(Z，＋)。 A={1，-1}，A上的二元运算是数的乘法，即(A，·)。 分别定义三个Z到A的函数如下 φ1： Z→A，对于每一个n?Z，φ1(n)=1。 φ2： Z→A，对于每一个n?Z，若n是偶数，φ2(n)=1；若n是奇数，φ2(n)=-1。 φ3： Z→A，对于每一个n?Z，φ3(n)=-1。 则 φ1是同态函数 ， φ2是满同态函数， φ3不是同态函数。 */55 例(p176) φ1： Z→A={1,-1}，对于每一个n?Z，φ1(n)=1。 显然，对于Z中的任意二个数n和m，有 φ1(n)=1， φ1(m)=1， φ1(n+m)=1， ∴ φ1(n+m)=φ1(n) · φ1(m) 故φ1是同态函数。 f（a*b）=f（a）·f（b） (Z，＋) (A，·) */55 例(p176) φ2： Z→A，对于每一个n?Z，若n是偶数，φ2(n)=1；若n是奇数，φ2(n)=-1。 显然φ2是Z到A的满射。对于Z中的任意的二个数n和m来说： 若n和m均是偶数，那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。 若n和m均是奇数，那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。 若n和m一个奇数，一个偶数，不失一般性设n是奇数， m是偶数， 那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。 所以φ2是满同态映射。 即（Z，+）与（A，·）是两个满同态代数系统。 */55 例(p177) φ3： Z→A={1，-1}，对于每一个n?Z，φ3(n)=-1。 取n=2，m=3时， φ3(n)= φ3(m)=-1， 而 φ3(n+m)= φ3(5)=-1 并且有 φ3(n)· φ3(m)=1 于是 φ3(n+m) ≠ φ3(n)· φ3(m) 所以φ3不是同态映射。 */55 定理1 （A1，*）和（A2，·）是两个代数系统， 且 （A1，*）与（A2，·）满同态。 若“*”适合交换律，则“·”也适合交换律； 若“*”适合结合律，则“·”也适合结合律。 */55 半群 定义3：设（A，*）是一个代数系统， A是一个非空集， *是A上的一个二元运算。 若*是A上的闭运算， 且*适合结合律， 则称（A，*）是一个半群。 * 实例 （1）Z+,+,N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群，+是 普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，Mn(R),+和Mn(R),·都是半 群，其中+和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）P(B),?为半群，其中?为集合的对称差运算. （4）Zn, ?为半群，其中 Zn={0,1, …, n?1}，?为模 n 加法. （5）AA, ?为半群，其中 ? 为函数的复合运算. （6）R*,?为半群，其中R*为非零实数集合，?运算定义 如下：?x, y∈R*, x ? y =y */55 例 对于任意二个自然数m和n，定义“ * ”运算： m*n=m+n+m·n 不难验证，（N，*）也是一个半群。 在自然数集上还可以定义许多的二元运算，使它们构成半群。 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc */55 含幺半群 定