弹性力学-绪论精要.ppt

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弹性力学-绪论精要

在工程上,有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触,基础结构与地基的接触,坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分,常常有不同的接触条件,难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。 接触问题 3. 有限值条件 图(a) 设图(a)中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用,试求其解答。 有限值条件 引用轴对称问题的解答,并考虑边界 上的条件,上述问题还是难以得出解答。这时,我们可以考虑所谓有限值条件,即除了应力集中点外,弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中,当 时, 和 中的第一、二项均趋于无限大,这是不可能的。按照有限值条件, 当 时,必须有A=B=0。 有限值条件 在弹性力学问题中,我们是在区域内和边界上分别考虑静力条件、几何条件和物理条件后,建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说,单值条件和有限值条件也是应该满足的,但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核: (1)按应力求解时,多连体中的位移单值条件。 有限值条件 在弹性力学的复变函数解法中,首先排除不符合单值条件和有限值条件的复变函数,从而缩小求解函数的范围,然后再根据其他条件进行求解。 (2)无应力集中现象时, 和 ,或 处的应力的有限值条件(因为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。 有限值条件 思考题 试考虑有两套筒或三套筒互相接触时,如何求解? 工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。 本节研究‘小孔口问题’,应符合 (1)孔口尺寸<<弹性体尺寸, 孔口引起的应力扰动局限于小范围内。 §4-8 圆孔的孔口应力集中 小孔口问题 (2)孔边距边界较远(>1.5倍孔口尺寸) 孔口与边界不相互干扰。   当弹性体开孔时,在小孔口附近,将 发生应力集中现象。 小孔口问题 1.带小圆孔的矩形板,四边受均布拉力q, 图(a)。 双向受拉 内边界条件为, 将外边界改造成为圆边界,作 则有 利用圆环的轴对称解答,取 且R>>r,得应力解答: 双向受拉 2. 带小圆孔的矩形板, x, y向分别受拉压力 ,图(b)。 所以应力集中系数为2。 内边界条件为 最大应力发生在孔边, 作 圆,求出外边界条件为 双向受拉压 应用半逆解法求解(非轴对称问题): 由边界条件, 假设 代入相容方程, 由 ~ 关系,假设 ,所以设 双向受拉压 除去 ,为欧拉方程,得解 由式 (d),(e) 得 ,并求出应力。 双向受拉压 校核边界条件 (b) , (c) ,求出 A, B, C, D, 得应力解答: 在孔边 , ,最大、最小应力为 ,应力集中系数为 。 双向受拉压 3.带小圆孔的矩形板,只受x向均布拉力q。 单向受拉 应用图示叠加原理(此时令 ) 得应力解答: 单向受拉 讨论: (1)孔边应力, 最大应力 3q ,最小应力-q。 单向受拉 得 同理,由 得 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体,厚度为1,如图B,考虑其平衡条件, 得 应用相似的方法,可得到 2、已知 ,求 思考题 1、试导出法线与 轴夹角为 的面上的 应力分量表达式。 2、试导出式(4-8)。 轴对称,即绕轴对称,凡通过此轴的任何面均为对称面。 轴对称应力问题: §4-5 轴对称应力和相应的位移 轴对称应力问题 应力数值轴对称-- 仅为 的函数, 应力方向轴对称-- 其中 相应的应力函数 ,所以 应力公式为: (1)相容方程 相容方程成为常微分方程,积分4次得 的通解, 的通解 (2) 应力通解:将式 (c) 代入式 (a), 将应变代入几何方程,对应第一、二式分别积分, 应变通解:将应力(d)代入物理方程,得 对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。 (4)求对应的位移: 分开变量,两边均应等于同一常量F, 将 代入第三式, 由两个常微分方程, 其中 代入 ,得轴对称应力对应的位移通解, I,K—为x、y向的刚体平移, H —为绕o点的刚体转动角

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