离散数学第16章解读.ppt

第十六章 树 主要内容 无向树及其性质 生成树 根树及其应用 16.1 无向树及其性质 定义16.1 (1) 无向树——连通无回路的无向图 (2) 平凡树——平凡图 (3) 森林——至少由两个连通分支（每个都是树）组成 (4) 树叶——1度顶点 (5) 分支点——度数?2的顶点 无向树的等价定义 定理16.1 设G=V,E是n阶m条边的无向图，则下面各命题 是等价的： (1) G 是树 (2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径. (3) G 中无回路且 m=n?1. (4) G 是连通的且 m=n?1. (5) G 是连通的且 G 中任何边均为桥. (6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈. 证明思路 (2)?(3). 若G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不 惟一. 对n用归纳法证明m=n?1. n=1正确. 设n?k时对，证n=k+1时也对：取G中边e， G?e有且仅有两个连通分支G1,G2(为什么?) . ni?k，由归纳 假设得mi=ni?1, i=1,2. 于是，m=m1+m2+1=n1+n2?2+1=n?1. 证明思路 (4)?(5). 只需证明G 中每条边都是桥. 为此只需证明命题 “G 是 n 阶 m 条边的无向连通图，则 m?n?1”. 命题的证明: 对n归纳. ?e?E, G?e只有n?2条边，由命题可知G?e不连通，故e为桥. 例题 例1 已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树. 例题 例2 已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同 构的无向树. 16.2 生成树 基本回路系统 定理16.4 设T为G的生成树，e为T的任意一条弦，则T?e中 含一个只有一条弦其余边均为T的树枝的圈. 不同的弦对应的 圈也不同. 证 设e=(u,v)，在T中u到v有惟一路径?，则??e为所求的圈. 基本回路系统 基本割集的存在 定理16.5 设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G 中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对 应的割集也不同. 证 由定理16.1可知，e是T的桥，因而T?e有两个连通分支T1 和T2，令 Se={e | e?E(G)且 e 的两个端点分别属于V(T1)和V(T2)}， 由构造显然可知Se为G的割集，e?Se且Se中除e外都是弦， 所以Se为所求. 显然不同的树枝对应的割集不同. 基本割集与基本割集系统 定义16.4 设T是n阶连通图G的一棵生成树，e?1, e?2, …, e?n?1 为T 的树枝，Si是G的只含树枝e?i的割集，则称Si为G的对应 于生成树T由树枝e?i生成的基本割集，i=1, 2, …, n?1. 并称 {S1,S2, …, Sn?1}为G 对应T 的基本割集系统，称n?1为G的割 集秩，记作?(G). 最小生成树 定义16.5 T是G=V,E,W的生成树 (1) W(T)——T各边权之和 (2) 最小生成树——G的所有生成树中权最小的 16.3 根树及其应用 定义16.6 T是有向树（基图为无向树） (1) T 为根树——T 中一个顶点入度为0，其余的入度均为1. (2) 树根——入度为0的顶点 (3) 树叶——入度为1，出度为0的顶点 (4) 内点——入度为1，出度不为0的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 平凡根树——平凡图 家族树与根子树 定义16.7 T 为非平凡根树 (1) 祖先与后代 (2) 父亲与儿子 (3) 兄弟 定义16.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子 图为以v为根的根子树. 根树的分类 (1) T 为有序根树——同层上顶点标定次序的根树 (2) 分类 ① r 叉树——每个分支点至多有r 个儿子 ② r 叉有序树——r 树是有序的 ③ r 叉正则树——每个分支点恰有r 个儿子 ④ r 叉正则有序树 ⑤ r 叉完全正则树——树叶层数相同的r叉正则树 ⑥ r 叉完全正则有序树 最佳前缀码 定义16.10 设?1, ?2, …, ?n-1, ?n是长度为 n 的符号串 (1) 前缀——?1, ?1?2, …, ?1?2…?n?1 (2)