第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型解读.ppt

B-S-M期权定价模型拓展 一、无交易成本假设的放松 二、常数波动率假设的放松 三、参数假设的放松 四、资产价格连续变动假设的放松 （一）对 的理解 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。 （一）对 的理解 1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。 当股票价格服从几何布朗运动　　　　　　　时，由于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程： 比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。 第二节 B-S-M期权定价公式 假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数； 2、允许卖空标的证券； 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有： 其在一个小的时间间隔 中，S的变化值 为： (1) 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得： 在一个小的时间间隔中，f的变化值 为： (2) 为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则： 在 时间后，该投资组合的价值变化 为： (3) 将(1)和(2)带入(3),可得 　　　　　　　　　中不含任何风险源，因 　 此组合　必须获得无风险收益，即 代入上式可得 化简为 B-S-M偏微分方程。 观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。 这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。 尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为： 其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即： 其中， 为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 。 对于布莱克－舒尔斯期权定价公式的理解： 在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值 。 因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。 无收益资产的欧式看跌期权的定价公式 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看