第五章静定结构位移计算解读.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * （3）在D点加单位荷载，各杆的轴力 及弯矩图如图（d）所示 （4）求D点的竖向位移 （5）求均布荷载q 令ΔDY≤0.01m，即可求得：q ≤ 32.04kN/m。 -1/2 5/2 2 FP=1 （d）FN及MP图 1.5q 7.5q 2q 2q （c）FNP及MP图 【例题17】求图示三铰刚架C点的相对转角 ，杆件的EI 为常数。 α A B D E C 8m 2m 6m 20kN.m 解：荷载作用下的弯矩图如下所示。 A B D E C 120 120 40 40 Mp图 两图的图乘结果即为 ： 荷载作用下的弯矩图和虚设力作用下的弯矩图如下所示。 40 40 A B D E C 120 120 MP图 B 1 3/4 M=1 E A 3/4 D MC图 【例题18】求图示三铰刚架B点的转角以及C铰左、右两侧截面 的相对转角。 解：（1）作出MP图如图所示。将AD段的MP图分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。 A B D E C a a q a （a）原结构 2EI 2EI EI EI （b）MP图 qa2/4 qa2/4 qa2/4 qa2/8 C 3qa/4 qa/4 qa/4 qa/4 （2）求B点转角 在B截面加单位荷载力偶并作图，如图（c）所示。则： （b）MP图 qa2/4 qa2/4 qa2/4 qa2/8 C （c）M图 1/2 1/2 1/2 M=1 1/2 1/a 1/a 1/a 1/a （3）求C铰左、各两侧面的相对转角 在C铰左、右两侧面加一反向单位力偶，并作M图，则： （b）MP图 qa2/4 qa2/4 qa2/4 qa2/8 C （d）M图 1 1 1 M=1 1 1/a 1/a 8、线性变形体系的互等定理 在超静定结构的内力分析中，常常用到弹性体系的四个互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理和反力与位移互等定理。其中最基本的是功的互等定理，另外三个定理则可由功的互等定理推导而得。 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，（a）、（b）分别称为结构的第一状态和第二状态。 1）功的互等定理 FP1 1 2 Δ11 （a）状态Ⅰ Δ21 1 2 Δ12 （b）状态Ⅱ Δ22 FP2 FP1 Δ22 FP2 FP2 Δ11 FP1 这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为： ● 在结构上先加 FP1后再加FP2 ，结构变形情况如图（c）所示，则外力所做总功为： ● 在结构上先加 FP2后再加FP1 ，结构变形情况如图（d）所示，则外力所做总功为： （d）先加FP2后加FP1 Δ11 （c）先加FP1后加FP2 Δ12 Δ21 Δ22 在上述两种加载过程中，外力作用的先后次序虽然不同，但是最后的荷载和变形情况是一样的。因此，两种加载情况 所做的总功应该相等，即外力所做总功与加载次序无关，故： 将两式代入上式得： 由此可得： 功的互等定理： 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等 于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 令功的互等定理中：FP1 = FP2 =1 2）位移互等定理 则由功的互等定理可得： FP1=1 1 2 （a）状态Ⅰ 1 2 （b）状态Ⅱ FP2=1 由此可得： 位移互等定理： 由第一个单位力引起的在第二个单位力处的位移， 等于由第二个单位力引起的在第一个单位力处的位移。 注意： 在位移互等定理中，荷载可以是广义荷载（单位力矩、单位集中力），而位移则是相应的广义位移（角位移、线位移）。在一般情况下，定理中的两个广义位移的量纲可能是不相等的，但单位荷载作用下引起的位移在数值上是保持相等的。因此，位移互等定理应该是单位荷载作用下引起的位移的互等定理。 反力互等定理，也是功的互等定理的一个特例。 3）反力互等定理 Δ2=1 Δ1=1 ● 图（a）为支座1发生单位位移Δ1＝1时，使支座1处所产生的反力r11，支座2处所产生的反力r21； ● 图（b）为支座2发生单位位移Δ2＝1时，使支座1处所产生的反力r12，支座2处所产生的反力r22。 以上反力的第一个下标表示它所在的位置，第二个下标表示它产生的原因。 3）反力互等定理 2 1 r11 r21 （a） 1 2 r12 r22 （b） Δ2=1 1 2 r12 r22 对上述两种状态应用功的互等定理， 则得： 反力互等