高考復习—体几何专题目.docVIP

立体几何专题 例1 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD. （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90° 例2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点. （1）求证：AB1⊥平面CED； （2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角. 例3 如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB= 求三棱锥D—ABC的体积； 例4在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值． 图① 图② 例5 已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． （1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥 P—ABC所成两部分的体积比． 例6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离） 为p的抛物线. （1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积． 1讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为从而只要算出四棱锥的高就行了. 面ABCD, ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA， ∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°. 而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,. （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE， 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC， 在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90° 2讲解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1 ∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段 ∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴； （3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC , ∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角. 在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600 ∴， ∴, ∴ , ∴ 3讲解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. 为二面角a—l—的平面角.. 是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO= （2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且 （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高, 异面直线AB,CD所成的角为arctg 4讲解: 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为, . 当且仅当 . 故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为 5讲解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD． 由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE． （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//