高考數学中的理科导数试题目.docVIP

一．求值 1. （2011江苏）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致 （1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围； （2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值 ．本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分. 解： （1）由题意知上恒成立，因为a0，故 进而上恒成立，所以 因此的取值范围是[ （2）令 若又因为， 所以函数在上不是单调性一致的，因此 现设； 当时， 因此，当时， 故由题设得 从而 因此时等号成立， 又当，从而当 故当函数上单调性一致，因此的最大值为 2．（2011全国新课标理）（本小题满分12分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （I）求a，b的值； （II）如果当x0，且时，，求k的取值范围． 解： （Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 。 考虑函数，则 。 (i)设，由知，当时，。而，故 当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0 从而当x0，且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+. （ii）设0k1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x0，故 (x）0，而 h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0，与题设矛盾。 （iii）设k1.此时（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0，与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0] 解：（2）由（1）知．故要证： 只需证为去分母，故分x1与0x1两种情况讨论： 当x1时，需证 即 即需证． （1） 设，则由x1得，所以在（1，+）上为减函数．又因g（1）=0所以 当x1时 g（x）0 即（1）式成立． 同理0x1时，需证 （2）而由0x1得，所以在（0，1）上为增函数．又因g（1）=0所以 当0x1时 g（x）0 即（2）式成立． 综上所证，知要证不等式成立． 点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算． 3.（2011陕西理）（本小题满分14分） 设函数定义在上，，导函数 （Ⅰ）求的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论与的大小关系； （Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 （Ⅰ）由题设易知，， ，令得， 当时，，故（0,1）是的单调减区间， 当时，，故是的单调增区间， 因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为． （Ⅱ）， 设，则， 当时，，即， 当时，， 因此，在内单调递减， 当时，，即， 当时，，即． （Ⅲ）满足条件的不存在． 证明如下： 证法一 假设存在 ，使 对任意 成立， 即对任意，有 ，（*） 但对上述，取时，有 ，这与（*）左边不等式矛盾， 因此，不存在 ，使 对任意成立。 证法二 假设存在，使 对任意的成立。 由（Ⅰ）知， 的最小值为。 又，而时，的值域为， ∴ 时， 的值域为， 从而可取一个，使 ， 即 ，故 ，与假设矛盾。 ∴ 不存在 ，使 对任意成立。 4．（2011上海理）（12分）已知函数，其中常数满足。 （1）若，判断函数的单调性； （2）若，求时的取值范围。 解：⑴ 当时，任意，则 ∵ ，， ∴ ，函数在上是增函数。 当时，同理，函数在上是减函数。 ⑵ 当时，，则； 当时，，则。 5．(2011四川理)（本小题共l4分） 已知函数 （I）设函数，求的单调区间与极值； （Ⅱ）设，解关于的方程 （Ⅲ）试比较与的大小． 解析： （1）， 令 所以是其极小值点，极小值为。是其极大值点，极大值为 （2）； 由 时方程无解 时 方程的根为 （3）， 6．（2011安徽理）(本小题满分12分) 设，其中为正实数 （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。 解：对求导得 ① （I）当，若 综合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,是极小值点,是极大值点. （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a0，知 在R上恒成立，因此由此并结合，知 7．（2011浙江理）（本题满分14分） 设函数 （I）若的极值点，求实数； （II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。 （