用导数求三角函数的最值.doc

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用导数求三角函数的最值 温故知新: 求下列函数的最大值 (1) 解:, . (2) 解: , 当即时. (3) 解: 当即时. (4) 解:令,则,, ,, 故当时,. (5) ; 解:设, 则点是单位圆上任意一点,且, 设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为, 当直线PQ与单位圆相切时,有,解得, 所以 变题: (6) 解: 令,又,则 列表如下: + 0 极大值 所以,当时,. 合作探究: 例1、求函数的最大值; 解: 令,得或, 又,则或(舍) 列表如下: + 0 极大值 所以,当时,. 变题1、求函数的最大值; 解: 令得或(舍) 又,则存在唯一的使得 列表如下: + 0 极大值 所以,当时, ,, . 变题2、求函数的最大值; 解: 令得或 又,则或(其中且) 列表如下: + 0 0 + 极大值 极小值 所以; 当时, ,,,又, 所以,所以. 变题3、求函数(其中为常数,且)的最小值; 解: 令得或 又,由得, 当时,由且可知, 必存在唯一的使得, 列表如下: + 0 0 + 极大值 极小值 , 当时,; 当时,; 当时,由且可知,或无解, 列表如下: 0 + 极小值 综上: ; 巩固练习: 1.函数的值域为 . 2. 函数的最大值 . 3. 若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈0,\f(π2))都成立,则a2-a1的最小值为____________. 答案:1-2π  4.如图,一块弓形薄铁片EMF,点M为的中点,其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内),∠EOF=.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗), AD∥EF,且点A、D在上,设∠AOD=. (1)求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式; (2)当矩形铁片ABCD的面积最大时,求cos的值. (1)解:设矩形铁片的面积为,. 当时(如图①),,, .…………………………… 3分 当时(如图②),,, 故. 综上得,矩形铁片的面积S关于的函数关系式为 ……………………………………………………… 7分 (2)解:当时,求导,得 . 令,得.…………………………………………………………… 10分 记区间内余弦值等于的角为(唯一存在).列表: 0 增函数 极大值 减函数 又当时,在上的单调减函数, 所以当即时,矩形的面积最大.………………………………… 16分 5.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计 一条观光线路(如图所示).在点A与圆弧上的一点C之间 设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点C到点 B设计为沿弧的弧形小路,在路的一侧边缘种植绿化带. (注:小路及绿化带的宽度忽略不计) (1)设(弧度),将绿化带总长度表示为的函数; (2)试确定的值,使得绿化带总长度最大. 【解】(1)如图,连接,设圆心为,连接. 在直角三角形中,,, 所以. 由于,所以弧的长为. ……………………3分 所以, 即,. ……………………………7分 (2), ……………………………9分 令,则, ……………………………11分 列表如下: + 0 极大值 所以,当时,取极大值,即为最大值. ……………………………13分 答:当时,绿化带总长度最大. ……………………………14分 6.已知函数f(x)=x+sinx. (1) 设P、Q是函数f(x)图象上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0; (2) 求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在0,\f(π2))上恒成立. 6. (1) 证明:由题意,得f′(x)=1+cosx≥0, 所以函数f(x)=x+sinx在R上单调递增, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有y1-y2x1-x2>0,即kPQ>0.(6分) (2) 解:当a≤0时,f(x)=x+sinx≥0≥axcosx恒成立.(8分) 当a>0时,令g(x)=f(x)-axcosx=x+sinx-axcosx, g′(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx) =1+(1-a)cosx+axsinx. ① 当1-a≥0,即0<a≤1时,g′(x)=1+(1-a)cosx+axsinx>0, 所以g(x)在0,\f(π2))上为单调增函数, 所以g(x)≥g(0)=0+sin

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