2012届江苏省常州市高三上学期期末考试数学卷.doc

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2012届江苏省常州市高三上学期期末考试数学卷 2012年1月 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合,若,则实数的值为 .[来源:学+科+网Z+X+X+K] 2.若(i为虚数单位),则复数= . 3.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则的值为 . 4.用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查,其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人.若该校高三年级共有学生400人,则该校高一和高二年级的学生总数为 人. 5.用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 .[来源:Zxxk.Com] 6.函数的最小正周期为 . 7.在平面直角坐标系中,已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,M为线段AB的中点,若,则该椭圆的离心率的值为 . 8.已知等比数列的各均为正数,且,则数列的通项公式为 . 9.设,已知函数,若曲线在处的切线恒过定点P,则点P的坐标为 . 10.对于函数,给出下列命题: (1)在同一直角坐标系中,函数与的图象关于直线对称; (2)若,则函数的图象关于直线对称; (3)若,则函数是周期函数; (4)若,则函数的图象关于点(0,0)对称. 其中所有正确命题的序号是 . 11.设函数在R内有定义,对于给定的正数,定义函数若函数,则当时,函数的单调减区间为 . 12.已知△ABC中,AB边上的高与AB边的长相等,则的最大值为 . 13.已知函数,且,其中为奇函数,为偶函数.若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 . 14.已知均为正实数,记,则的最小值为 . 二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知、,向量. (1)当时,若,求的取值范围; (2)若对任意实数恒成立,求的取值范围. 16.(本小题满分14分) 如图,斜三棱柱中,侧面底面ABC,侧面是菱形,,E、F分别是、AB的中点.求证: (1)EF∥平面; (2)平面CEF⊥平面ABC. 17.(本小题满分14分) 已知各项均为正数的数列的前项和为,满足,且依次是等比数列的前三项. (1)求数列及的通项公式; (2)是否存在常数且,使得数列是常数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 18.(本小题满分16分) 在平面直角坐标系中,已知圆与轴正半轴的交点为F,AB为该圆的一条弦,直线AB的方程为.记以AB为直径的圆为⊙C,记以点F为右焦点、短半轴长为(为常数)的椭圆为D. (1)求⊙C和椭圆D的标准方程; (2)当时,求证:椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部; (3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点,过点M且与轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点(点P在轴上方),点P关于轴的对称点为N,设直线QN交轴于点L,试判断是否为定值?并证明你的结论.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 19.(本小题满分16分) 如图是一幅招贴画的示意图,其中ABCD是边长为的正方形,周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心,G为AD的中点,点P在直线OG上,弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分,OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为,. (1)求关于的函数关系式; (2)定义比值为招贴画的优美系数,当优 美系数最大时,招贴画最优美.证明:当角满足: 时,招贴画最优美. 20.(本小题满分16分) 设为实数,函数. (1)当时,求函数在区间上的最大值和最小值; (2)求函数的单调区间. 常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ(附加题) 2012年1月 21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答, 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图,⊙O是△ABC的外接圆,延长BC边上的高AD交⊙O于点E,H为△ABC的垂心.求证:DH=DE. B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)[来源:学|科|网Z|X|X|K] 求矩阵的特征值及对应的特征向量. C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在极坐标系中,O为极点,求过圆C:的圆心C且与直线OC垂直的直线的极坐标方程. D.选修4-5:不等式选讲(本小

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