2012届江苏省常州市高三上学期期末考试数学卷.doc

2012届江苏省常州市高三上学期期末考试数学卷 2012年1月 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，若，则实数的值为 ．[来源:学+科+网Z+X+X+K] 2．若（i为虚数单位），则复数= ． 3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为 ． 4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人． 5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 ．[来源:Zxxk.Com] 6．函数的最小正周期为 ． 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若，则该椭圆的离心率的值为 ． 8．已知等比数列的各均为正数，且，则数列的通项公式为 ． 9．设，已知函数，若曲线在处的切线恒过定点P，则点P的坐标为 ． 10．对于函数，给出下列命题： （1）在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称； （2）若，则函数的图象关于直线对称； （3）若，则函数是周期函数； （4）若，则函数的图象关于点（0，0）对称． 其中所有正确命题的序号是 ． 11．设函数在R内有定义，对于给定的正数，定义函数若函数，则当时，函数的单调减区间为 ． 12．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为 ． 13．已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．已知均为正实数，记，则的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知、，向量． （1）当时，若，求的取值范围； （2）若对任意实数恒成立，求的取值范围． 16．（本小题满分14分） 如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．求证： （1）EF∥平面； （2）平面CEF⊥平面ABC． 17．（本小题满分14分） 已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，且依次是等比数列的前三项． （1）求数列及的通项公式； （2）是否存在常数且，使得数列是常数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知圆与轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为（为常数）的椭圆为D． （1）求⊙C和椭圆D的标准方程； （2）当时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部； （3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在轴上方），点P关于轴的对称点为N，设直线QN交轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 19．（本小题满分16分） 如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为，． （1）求关于的函数关系式； （2）定义比值为招贴画的优美系数，当优 美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角满足： 时，招贴画最优美． 20．（本小题满分16分） 设为实数，函数． （1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）求函数的单调区间． 常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答， 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交⊙O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH=DE． B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）[来源:学|科|网Z|X|X|K] 求矩阵的特征值及对应的特征向量． C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，O为极点，求过圆C：的圆心C且与直线OC垂直的直线的极坐标方程． D．选修4-5：不等式选讲（本小