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2013年江苏省连云港市高三三模拟试题 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答卷卡的相应位置上. 1. 已知是实数集，集合，，则 ★ . 2. 已知，则复数的模等于 ★ . 3.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是 ★ . 4. 已知向量，满足，且，则的夹角为 ★ . 5. 是直线：与直线：平行的 ★ 条件. 6. 已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ★ . ①若，则必有； ②若，则必有； ③若，则必有； ④若，则必有； ⑤若，则与一定不相交. 7. 已知是三角形的最小内角，则的取值范围是 ★ . 8. 已知数列为等差数列，公差，、、成等比，则的值为 ★ . 9.若，且点在过点，的直线上，则 的最大值是 ★ . 10. 已知点是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则的取值范围是 ★ . 11. 已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是 ★ . 12. 已知实数、、满足，且，则实数的取值范围是 ★ . 13. 如图4，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是 ★ . 14. 定义在R上的函数满足且当时，有，则_____★ _. 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案填写在答卷卡的相应位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分） 已知向量， ，函数，且函数的最小正周期为。 （1）求的值； （2）设的三边满足：，且边所对的角为，若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围。 16．（本小题满分14分） 16.如图1所示，在中，，， ，为的平分线，点在线段上，.如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点. （1）求证：平面； （2）若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积. 17.（本小题满分14分） 如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为 （1）当时，求关于的函数关系式； （2）当时，求的最大值； （3）若探照灯每分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定。设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间。 18（本小题满分16分） 已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值． 19. （本小题满分16分） 已知函数.（） （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围． 20. （本小题满分16分） 对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．例如对于实数，无穷数列满足如下条件： ， 其中 （1）若，求数列的通项公式； （2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合； （3）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论． 数学II（附加题） 21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B．（选修４－２：矩阵与变换）设T是矩阵所对应的变换，已知且 （1）设，当△的面积为，，求的值； （2）对于（1）中的值，再设T把直线变换成，求的值. C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为． （1）求直线的倾斜角； （2）若直线与曲线交于两点，求． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22. （本小题满分10分） 如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面，． （1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小； （2）已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 23. （本小题满分10分） 等差数列满足. （1）设数列的公差，为数列的第项的值，求证：的展开式中不含常数项； （2）设数列的公差为正整数，为数列的第项的值，求公差的值的集合，使得对于一切，的展开式中均不含常数项。 2013年江苏省连云港市