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必修1
第2章:函数的概念与基本初等函数Ⅰ教学案
补充内容:一元二次不等式 总第 11课时
教学目标:1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法与步骤.
2. 会把部分一元二次不等式转化为一次不等式组来求解.
3. 感受数形结合思想,渗透等价转化与分类讨论思想.
教学重点:掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法与步骤.
教学难点:一元二次不等式恒成立的条件.
【探求新知】
建构数学
1. 一元二次不等式
对于不等式a+bx+c0(a0)或a+bx+c0(a0),只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.
注意:任何一元二次不等式经过变形都可以化为两种形式之一.
2. 一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系
三个“二次问题”之间的关系:
判别式 △0 △=0 △0 y=a+bx+c (a0)
的图像 a+bx+c=0的根 x=,x= x1= x2=- 无实数根 a+bx+c0的解集 {x|x或x} {x|x≠-} R ax+bx+c0的解集 {x|x x2}
3. 解一元二次不等式的方法和步骤
(1)化为a+bx+c0(a0)或a+bx+c0(a0),简记为“使a0” .
(2)计算△=-4ac,判别根的三种情况,当△≥0时求出相应的二次方程a+bx+c=0的根,简记为“求根”.
(3)写出解集,用区间或集合表示解集,简记为“求解”.
新知点击
例1:解不等式:(1);(2);(3)
例2:解不等式
例3:求下列不等式的解集
(1)2x+x+0; (2) 2x-3; (3) 2x-1; (4)3+5≤3x
例4:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对xR恒成立,求a的取值范围.
例5:求a,b的值,使得关于x的不等式a+bx+a-3≤0的解集分别是
(1)[1,2] ; (2)∪ ; (3)
例6:已知不等式+px+q0的解集为,求不等式q+px+10的解集.
例7:解关于x的不等式.
效果检测
1. 解不等式(1) 4(2-2x+1)>x(4-x) (2)(x+1) +3(x+1)-40
2.若不等式对一切x恒成立,求实数m的取值范围.
3. 关于x的不等式-4ax+3a+a≤0的解集为,求实数a的取值范围.
课后研学
1.已知不等式x2+ax+b0的解集是,则a=______,b=______.
2.解下列不等式:
(1); (2); (3); (4) x(x+2)(x(3(x)+1;
3.函数的定义域为R,求m的取值范围.
4.若二次函数y=x2+tx+t+3的最小值为非负值,求实数t的取值范围.
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