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4.5数系的扩充与复数的引入.doc
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课时提升作业(二十九)
一、填空题
1.如果复数m2(1+i)+(m+i)i2为纯虚数,则实数m的值为_____.
2.(2013·连云港模拟)在复平面内,复数所对应的点位于第_____象限.
3.复数等于_____.
4.已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值为_____.
5.(2013·盐城模拟)若(1-2i)i=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则ab=_____.
6.若(a,b∈R),则a-b=_____.
7.(2013·徐州模拟)已知=3+i(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=_____.
8.复数z0=5+2i(i为虚数单位),复数z满足z·z0=5z+z0,则z=_____.
9.(2013·苏州模拟)若(1+ai)2=-1+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则|a+bi|=_____.
10.定义一种运算如下:则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是_____.
11.若复数z=cos θ+isin θ且z2+=1,则sin2θ=_____.
12.(能力挑战题)已知复数z1=cos θ-i,z2=sin θ+i,则z1·z2的实部的最大值为_____,虚部的最大值为_____.
二、解答题
13.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
14.(能力挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.【解析】∵m2(1+i)+(m+i)i2=(m2-m)+(m2-1)i为纯虚数,∴∴m=0.
答案:0
2.【解析】∵∴该复数对应点位于第二象限.
答案:二
3.【解析】
答案:-1+i
【变式备选】已知复数z=1+i,则等于_____.
【解析】
答案:2i
4.【解析】由(x-2)i-y=-1+i,
得x=3,y=1,
∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.
答案:-4
5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题.
【解析】∵(1-2i)i=i+2=a+bi,
∴a=2,b=1,∴ab=2.
答案:2
6.【解析】
=-1+(2-1)i=a+bi,
则a=-1,b=2-1,故a-b=-2.
答案:-2
7.【解析】∵=3+i,∴a+bi=(3+i)(2-i)=7-i,
∴∴a+b=6.
答案:6
8.【解析】由z0=5+2i及z·z0=5z+z0,
得
答案:
9.【解析】∵(1+ai)2=-1+bi,
∴1-a2+2ai=-1+bi,
∴
解得或
∴|a+bi|=
答案:
10.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故 =-1-(-1)i.
答案:-1-(-1)i
11.【解析】z2+=(cos θ+isin θ)2+(cos θ-isin θ)2=2cos 2θ=1?cos 2θ=,所以sin2θ==.
答案:
【方法技巧】解决复数中的三角函数问题的技巧
解决复数与三角函数结合的问题时,一般先根据复数的运算把复数化为代数形式,然后根据复数相等的概念得到复数的实部、虚部间的关系,利用题中的条件把问题转化为三角函数问题解决.
12.【解析】z1·z2=(cos θsin θ+1)+i(cos θ-sin θ).
实部为cos θsin θ+1=1+sin 2θ≤,当且仅当θ=- +2kπ,k∈Z时取等号.
所以实部的最大值为.
虚部为cos θ-sin θ=sin(-θ)≤,当且仅当θ=-+2kπ,k∈Z时取等号.
所以虚部的最大值为.
答案:
13.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.
(2)设z=s+ti,根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.
【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
∴
解得a=b=3.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),
由|-3-3i|=2|z|,
得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),
即(s+1)2+(t-1)2=8,
∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,
当Z点在OO1的连线上时,
|z|有最大值或最小值.
∵|OO1|=,
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