4.5数系的扩充与复数的引入.doc

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4.5数系的扩充与复数的引入.doc

温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时提升作业(二十九) 一、填空题 1.如果复数m2(1+i)+(m+i)i2为纯虚数,则实数m的值为_____. 2.(2013·连云港模拟)在复平面内,复数所对应的点位于第_____象限. 3.复数等于_____. 4.已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值为_____. 5.(2013·盐城模拟)若(1-2i)i=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则ab=_____. 6.若(a,b∈R),则a-b=_____. 7.(2013·徐州模拟)已知=3+i(a,b∈R,i为虚数单位),则a+b=_____. 8.复数z0=5+2i(i为虚数单位),复数z满足z·z0=5z+z0,则z=_____. 9.(2013·苏州模拟)若(1+ai)2=-1+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则|a+bi|=_____. 10.定义一种运算如下:则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是_____. 11.若复数z=cos θ+isin θ且z2+=1,则sin2θ=_____. 12.(能力挑战题)已知复数z1=cos θ-i,z2=sin θ+i,则z1·z2的实部的最大值为_____,虚部的最大值为_____. 二、解答题 13.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b. (1)求实数a,b的值. (2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值. 14.(能力挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件: ①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由. 答案解析 1.【解析】∵m2(1+i)+(m+i)i2=(m2-m)+(m2-1)i为纯虚数,∴∴m=0. 答案:0 2.【解析】∵∴该复数对应点位于第二象限. 答案:二 3.【解析】 答案:-1+i 【变式备选】已知复数z=1+i,则等于_____. 【解析】 答案:2i 4.【解析】由(x-2)i-y=-1+i, 得x=3,y=1, ∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4. 答案:-4 5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题. 【解析】∵(1-2i)i=i+2=a+bi, ∴a=2,b=1,∴ab=2. 答案:2 6.【解析】 =-1+(2-1)i=a+bi, 则a=-1,b=2-1,故a-b=-2. 答案:-2 7.【解析】∵=3+i,∴a+bi=(3+i)(2-i)=7-i, ∴∴a+b=6. 答案:6 8.【解析】由z0=5+2i及z·z0=5z+z0, 得 答案: 9.【解析】∵(1+ai)2=-1+bi, ∴1-a2+2ai=-1+bi, ∴ 解得或 ∴|a+bi|= 答案: 10.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故 =-1-(-1)i. 答案:-1-(-1)i 11.【解析】z2+=(cos θ+isin θ)2+(cos θ-isin θ)2=2cos 2θ=1?cos 2θ=,所以sin2θ==. 答案: 【方法技巧】解决复数中的三角函数问题的技巧 解决复数与三角函数结合的问题时,一般先根据复数的运算把复数化为代数形式,然后根据复数相等的概念得到复数的实部、虚部间的关系,利用题中的条件把问题转化为三角函数问题解决. 12.【解析】z1·z2=(cos θsin θ+1)+i(cos θ-sin θ). 实部为cos θsin θ+1=1+sin 2θ≤,当且仅当θ=- +2kπ,k∈Z时取等号. 所以实部的最大值为. 虚部为cos θ-sin θ=sin(-θ)≤,当且仅当θ=-+2kπ,k∈Z时取等号. 所以虚部的最大值为. 答案: 13.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可. (2)设z=s+ti,根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题. 【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, ∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0, ∴ 解得a=b=3. (2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t), 由|-3-3i|=2|z|, 得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2), 即(s+1)2+(t-1)2=8, ∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示, 当Z点在OO1的连线上时, |z|有最大值或最小值. ∵|OO1|=,

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