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专题16不等式选讲-2014年高考数学高频考点与必威体育精装版模拟(解析版).doc
专题16 不等式选讲
高频考点一 |x+3|-|x-2|≥3的解集为________.
(2)设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.
①画出函数y=f(x)的图象; [来源:Z+xx+k.Com]
②若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的取值范围.
(2)①f(x)=
其图象如图所示.
由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),
得≥f(x).
又因为≥=2,
则有2≥f(x),即2≥|x-1|+|x-2|.
解得≤x≤.
即x的取值范围为.
①求零点;②划区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
高频考点二 不等式的证明
例2.已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+2≥6,并确定a、b、c为何值时,等号成立.
【方法规律】
1.证明不等式的传统方法有:比较法、综合法、分析法.
2.不等式证明还有一些常用方法:拆项法、添项法、逆代法、换元法、放缩法、反证法、函数的单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法.存在性、惟一性等问题或题目中带有“至少有一个”、“至多有一个”、“不能都”等字样的问题,都可以用反证法.
高频考点三 不等式的应用
例3、设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果?x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
点评:a≤f(x),当x∈R时恒成立,只需a≤f(x)min;a>f(x),当x∈R时恒成立,只需a>f(x)max.
四 柯西不等式的应用
例4、已知实数x、y、z满足x2+4y2+9z2=a(a0),且x+y+z的最大值是1,求a的值.
1.不等式的基本性质
(1)对于任意两个实数a,b有且只有以下三种情况之一成立:ab?a-b0,ab?a-b0,a=b?a-b=0.
(2)不等式的基本性质
对称性:ab?ba.
传递性:ab,bc?ac.
加(减):ab?a+cb+c.
乘(除):ab,c0?acbc;ab,c0?acbc.
乘方:ab0?anbn0(n∈N*,n≥2).
开方:ab0?0(nN*,n≥2).
2.基本不等式
(1)如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当a=b时取等号.同时,我们称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数,该定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(2)已知x,y都是正数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.
(1)设a,b为实数,则加法性质:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
(2)设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|.
(3)若a0,且|x|a,则xa或x-a;若a0,且|x|a,则-axa.
设a1,a2,b1,b2均为实数,则(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2(等号当且仅当a1b2=a2b1时成立).
4.不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学归纳法等.
[来源:Zxxk.Com](24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>1,且当x∈[,)时,f(x)g(x),求a的取值范围.
时,令,,做出函数图像可知,当时,,故原不等式的解集为;
(2013·陕西理)A. (不等式选做题, mn=2, 则bn)(bm+an)的最小值为(3).(本小题满分7分) 选修4-5:不等式选讲
设不等式的解集为A,且
(Ⅰ)求的值
(Ⅱ)求函数的最小值
【答案】(Ⅰ)因为,且,所以,且
解得,又因为,所以
(Ⅱ)因为
当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为
【解析】 不等式选讲如果如此题只考查绝对值不等式就算比较容易的题目,注意绝对值的三角不等式即可,当然也可通过讨论去掉绝对值号,当然还要注意均值和柯西不等式的应用。
【学科网考点定位】本题考查绝对值不等式的基本内容,属于简单题。
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)
(II)
(II)令
由,又知
所以
【解析】第一问的解法一主要运用了绝对值的几何意义,这种方法比较直观简单,解法二主要运用绝对值的意义进行分类讨论解决;第二问主要是含有字母a,以a作为依据分为三段来解决,最后于所给的解集相等进而求得a
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