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圆锥曲线单元练习二.doc
圆锥曲线单元练习二
填空题(本题共70分,每题5分,请直接把答案填写在相应区域)
1. 离心率为的椭圆的标准方程为
2.抛物线的焦点坐标为
3. 在平面直角坐标系中,双曲线中心在原点,焦点在轴上,一条渐近线方程为,则它的离心率为 .
4. 若抛物线上两点到焦点的距离和是5,则线段中点到轴的距离为___________.
5. 已知双曲线的渐近线方程为焦点在轴上,焦点到相应渐进线的距离为2,则双曲线的方程为
6. 设点是椭圆上一点,是椭圆的两个焦点,则取最大值时点的坐标为
7. 在平面直角坐标系中,已知顶点顶点在椭圆上,则
8. 已知双曲线经过点且它的两条渐近线方程为那么双曲线的方程为
9. 已知动点在椭圆上,若点的坐标为(3,0),,且,则的最小值为___________________
10. 已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交与两点。若则
11. 等腰中,斜边,一个椭圆以为其中一个焦点,另一个焦点在线段上,且椭圆经过两点,则该椭圆的离心率为 . ,则 .
13. 已知椭圆()与双曲线 有公共的焦点,的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点.若 恰好将线段三等分,则=______是椭圆长轴的两个端点,是椭圆上关于
轴对称的两点,直线的斜率分别为,且的最小
值为,则椭圆的离心率为
二.解答题:(请写出相应的证明过程,文字说明或演算步骤)
15. 设椭圆C:的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与轴正半轴于点P、Q,且.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:
相切,求椭圆C的方程.
16. 已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆C的离心率为,点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到AB的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个
动点,满足EP⊥EQ,求 的取值范围.
17. 已知椭圆:()的左焦点为,离心率为。
()的标准方程;
()为坐标原点,为直线上一点,过作的垂线交椭圆于,。当四边形是平行四边形时,求四边形的面积。、分别是直线和上的两个动点,线段的长为,是的中点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点任意作直线(与轴不垂直),设与(1)中轨迹交于两点,与轴交于点.若,,证明:为定值.
20. 已知椭圆的离心率为,过右顶点A的直线与C相交于A、B两点,且.
(1)求椭圆和直线的方程;
(2)记曲线在直线下方的部分与线段所围成的平面区域(含边界)为.若曲线与有公共点,试求实数的最小值.
,2.,3. 4.2, 5. 6.,7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二.解答题
15. 解 (1)设椭圆C的焦距为2c,Q(x0,0),
P(x1,y1),由F(-c,0),A(0,b)得.
∵,∴,即.
又∵,∴,∴.
又∵点P在椭圆上,∴,整理得,
又∵,∴,即,解得,
故椭圆的离心率为.
(2)由(1)知,,故,于是Q()、
F(),△AQF的外接圆圆心为(),半径.
∵△AQF的外接圆与直线相切,∴,解得a=2,∴,故椭圆C的方程为.
16.
17. (1)由已知得:,,所以
又由,解得,所以椭圆的标准方程为:.
(2)设T点的坐标为,则直线TF的斜率.
当时,直线PQ的斜率,直线PQ的方程是
当时,直线PQ的方程是,也符合的形式.
将代入椭圆方程得:.
其判别式.
设,
则.
因为四边形OPTQ是平行四边形,所以,即.
所以
解得.
此时四边形OPTQ的面积
.
18. (1)由题意知,焦点为,准线方程为,
设,由抛物线的定义知,,得到,
代入求得或,
所以或,由得或,
(2)设直线的方程为,,,,
由得,于是,
所以,,
所以的中点的坐标,
由,所以,
所以,因为,
所以,由,,所以,
又因为,点到直线的距离为,
所以,
记,,令解得,,
所以在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,
又,
所以当时 ,取得最大值,此时,
所以的面积的最大值为.
19. (1)设,,.
∵是线段的中点,∴
∵分别是直线和上的点,∴和.
∴
又,∴. ∴,∴动点的轨迹的方程为.
(2)依题意,直线的斜率存在,故可设
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