培优专题1等腰三角形(含解答)-.doc

培优专题1 等腰三角形 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1 如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 分析 AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系． 解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β， ∵MN=AN， ∴∠AMN=∠MAN=β． 设∠ABC=γ， 在△ABC中， ∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°， 由于∠BCA=∠CAB=2α+β， ∴4α+2β+γ=180°． 在△ABM中，β=α+γ， ∴4α+2β+（β-α）=180°． 即3（α+β）=180°． ∴α+β=60°，故∠MAC=60°． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（ ）． A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3 3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的． 解：延长AD到F，使AF=EF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠A=60°． ∴△AEF是等边三角形． ∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°． 又∵EH垂直平分BD， ∴EB=ED，∠EBD=∠EDB． ∴△EAD≌△EFB． ∴AD=BF． 又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE， ∴AD=CE． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（ ） A．BDBA B．BDBA C．BD=BA D．无法确定 3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？ 例3 已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由． 分析 要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可． 解：在△ABE和△DBC中， ∵∠ABE=60°+∠DBE，∠DBC=60°+∠DBE， ∴∠ABE=∠DBC． ∵AB=BD，BE=EC． ∴△ABE≌△DBC． ∴AE=DC，∠MEB=∠NCB． 又∵M、N分别是AE和DC的中点， ∴ME=NC，又△BEC为等边三角形， ∴BE=BC． ∴△MB