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基本不等式与线性规划.doc
基本不等式与线性规划
知识框架
1.基本不等式:
2.利用线性规划求最值的步骤:
二、基础自测
1.若变量满足约束条件, .
2.已知,且,则的最小值是 .
3.已知函数的图象过点,则此函数的最小值是 .6
4. 记不等式组所表示的平面区域为,若直线与公共点,则的取值范围是 .
5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是 .
6.若直三角形的周长为,则它的最大面积为__________.
三、典型例题
例1(1)已知,满足约束条件,若的最小值为,则 .
(2)已知实数,满足不等式,则的取值范围是 .
例2(1)设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 . 1
(2)若对满足条件的任意,恒成立,则实数的取值范围是 .
例3 设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a=______________.
例4 如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.
(1)用x,y,a,b表示S;
(2)若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总
面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,
y的值.
解:(1)壁画由9个小矩形构成,其面积为9个矩形的面和
∴壁画的总面积为S=2bx+2ay+4xy+ab,x,y>0
(2)依题意,即求4xy的最大值
因为x,y>0,所以,
从而,当且仅当bx=ay时等号成立
令,则t>0,上述不等式可以为
解得
因为t>0,所以,从而
由
解得(舍去负值)
此时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为ab+S-2
四、巩固提升
1.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点,满足,求得的取值范围是 .
2.设,则当______时, 取得最小值.
3.已知______. 12
4.已知,且,则 .
条不同的直线. 6
6.设O为坐标原点,M(2,1),若点N(x,y)满足则||cos∠MON的最大值
为
7.设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 . (1,3)
(1,3)
8.已知集合,.
若“点”是“点”的必要条件,则当最大时,的值是 .
9.已知满足若,则z的取值范围为 .
10. 已知x,y为正数,则的最大值为 .
11.如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设
(1)用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值.
(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(平方百米)?
(1)由题意,知
,
.
(2)
当且仅当时取等号.
故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为()平方百米.
12.对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度〔含污物体的清洁度定义为1-〕为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x>a-1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.
(1)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
解:(1)方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,
由题设有=0.99,解得x=19.
由c=0.95得方s案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程,
解得y=4a,故z=4a+3,
即两种方案的用水量分别为19与4a+3.
因为当1≤a≤3时,x-z=4(4-a)>0,
即x>z,故方案乙的用水量较
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