恒成立的不等式问题（祝大展编公开课）.doc

恒成立不等式问题 江苏省江安高级中学数学组 执教人：祝大展 【教学目标】： 1.了解函数中恒成立问题常见的几种题型。 2.理解并掌握函数恒成立问题的解题策略。 活动一：自主探究 (1) ?x时，恒成立，求的取值范围。 (2) ?x时，，求的取值范围。 (3) ?x时，不等式恒成立，求的取值范围。 活动二：恒成立问题解题策略 例1.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围． 变式.已知不等式对恒成立，求实数x的取值范围． 例2、若关于的不等式对任意恒成立，求所有这样的 解的集合 例3：设，． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围． ，，其中，． 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围 变式：已知函数，，其中，． 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 活动五：课堂检测： 1.函数是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又, 则满足对所有的及都成立的t的范围是________ 2.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 ，当时，恒成立，则实数的取值范围 ． 4.已知是偶函数，当 恒成立，则的值是__ 5. 已知对一切的恒成立，实数a的取值范围对任意实数，在闭区间上总存在两实数、，使得8成立，则实数的最小值为 8 ． 6、已知为正的常数,若不等式对一切非负实数恒成立,则的最大值为(1,2)时，恒成立，求a的取值范围。 (2) ?x (1,2)时，，求a的取值范围。 (3) ?x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。 活动二：?x∈D，f(x)C对恒成立，求实数的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即。 思路 2、通过分离变量，转化到解决，即。 思路3、通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方． 变式：已知不等式对恒成立，求实数x的取值范围． 例2、若关于的不等式对任意恒成立，求所有这样的 解的集合 例3：设，． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围． 第（1）（2）小题考查了二次函数的性质、一元二次不等式的解法及分类讨论的基本数学思想，属容易题；第（3）小题以不等式恒成立、函数值域的求法等综合性问题为载体，主要考查了学生观察、判断能力及等价转化能力，属中档题． 解：（1）恒成立2分 ． 4分 （2）， 1）当时，，原不等式解； 2）当时，原不等式解为：． 3)当时，， 原不等式的解为：． 8分 （3）令它在（1，2）上是增函数，故， 从而当时，恒成立 即对于恒成立， ； 因为当时，，所以， 12分 ， 所以函数在（3,8）上是减函数． ，从而． 16分 【小结：】解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解． 活动三：?x∈D，f(x)g(x)，，其中，． 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围 解：由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是． 活动四：?x1，x2D，，，其中，． 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围 活动五：课堂检测： 1、函数是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又, 则满足对所有的及都成立的t的范围是________ 2、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 ，当时，恒成立，则实数的取值范围 ． 4、已知是偶函数， 当 恒成立，则的值是__ 已知对一切的恒成立， 实数a的取值范围1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解． 2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下