数学归纳法海选专题.doc

数学归纳法海选专题 证明一些等式和不等式 注意：（1）初始值 （2）由n=k到n=k+1时①注意增加的项数②一定要用n=k正确这个结论 （3）特殊→猜想→证明 （4） 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)＝(nN*)． 用数学归纳法证明且，求证：. 三．整除问题： 1.试证当n为自然数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．若5n＋2×3n－1＋1(nN*)能被正整数m整除，请写出m的最大值，并给予证明． 解：当n＝1时，51＋2×30＋1＝8， m≤8，(2分) 下证5n＋2×3n－1＋1(nN*)能被8整除．(3分) 当n＝1时已证；(4分) 假设当n＝k(kN*)时命题成立，即5k＋2×3k－1＋1能被8整除．(5分) 则当n＝k＋1时，5k＋1＋2×3k＋1＝5·5k＋6·3k－1＋1(6分) ＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)，(7分) 5k＋2×3k－1＋1能被8整除，而5k＋3k－1为偶数， 4(5k＋3k－1)也能被8整除，即当n＝k＋1时命题也成立．(8分)能被整除. 四．与数列有关问题： 1．已知正项数列中，对于一切的均有成立。 （1）证明：数列中的任意一项都小于1； （2）探究与的大小，并证明你的结论. ．解：（1）由得 ∵在数列中，∴，∴ 故数列中的任意一项都小于1. （2）由（1）知，那么， 由此猜想：（n≥2）.下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，显然成立； ②当n=k时（k≥2,k∈N）时，假设猜想正确，即， 那么， ∴当n=k+1时，猜想也正确 综上所述，对于一切，都有。 （1）计算的值； （2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解：（1）由已知，， ； （2）由（Ⅰ）知；下面用数学归纳法证明： 当时，． （１）由（Ⅰ）当时，； （２）假设时，，即，那么 ， 所以当时，也成立． 由（1）和（2）知，当时，． 所以当，和时，；当时，． 3.已知数列中，，． （1）求证：； （2）求证：当时，． 解：，所以……………… 2分 故………………………………… 4分 （2）当时，，又， 所以，即………………………………… 6分 假设当时， 则当时，………………… 8分 …………………………………10分 即时结论成立 综上所述，当时，． 4、已知正项数列中，。用数学归纳法证明：。 答案要点：时，，，所以，时，不等式成立； 假设（）时，成立，则当时， ， 所以，时，不等式成立． 综上所述，不等式成立． 5、已知数列满足，且（） （1）求的值 （2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明。 解：（1）由得， 求得 ……3分 （2）猜想 ……5分 证明：①当n=1时，猜想成立。 ……6分 ②设当n=k时时，猜想成立，即， ……7分 则当n=k+1时，有， 所以当n=k+1时猜想也成立 ……9分 ③综合①②，猜想对任何都成立。 ……10分 6、已知数列中，an=n（n+1）（n+2）.又Sn=kn（n+1）（n+2）（n+3），试确定常数k，使S n恰为的前n项的和，并证明你的结论.解：由a1=S1,k=.下面用数学归纳法进行证明. 1°.当n=1时，命题显然成立； 2°.当n=kN*)时，命题成立, 即1·2·3+2·3·4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）, 则n=k+1时，1·2·3+2·3·4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3） =( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3） 即命题对n=k+1.由1° 2°，命题对任意的正整数n成立.中，。用数学归纳法证明：。 8.已知数列的各项都是正数且满足 （1）求 （2）证明： 9、已知数列满足． （Ⅰ）计算；（Ⅱ）猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明． 解：（Ⅰ）由递推公式，得，．……3分 （Ⅱ）猜想：．…………………………………5分 证明：①时，由已知，等式成立．……