数学归纳法课件2.ppt

数学归纳法 启东中学高二数学 问题情景一,二 1. 2．华罗庚的“摸球实验” 问题1.如何证明你的归纳? 问题2.如何保证所摸的球都是红球 ? 数学归纳法与多米诺骨牌 n取第一个值命题成立 设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 命题成立 推倒第一张骨牌 当第k张骨牌倒下时，第k+1张骨牌也倒下 骨牌全部倒下 变2 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝ 2k·1·3·5·…·(2k－1)． 当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2) ＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)． 这就是说当n＝k＋1时，等式成立． 根据(1)、(2)知，对n∈N*，原等式成立． 辨 析 感 悟 (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立． (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明． (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用． 当堂反馈 归纳总结 两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点： （1）第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． （2）第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”． 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点： (1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义． (2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论． (3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数． * * * * * * * * 数学归纳法 一般地，证明某些与正整数有关数学命题，我们有数学归纳法公理： （1）当n取第一个值n0(例如n0=1，2等) 时结论正确; （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时结论正确,证明当n=k+1时结 论也正确 那么命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据 问题情境三 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示 如果 是等差数列，已知首项为 ，公差为 ，那么 对一切 都成立． 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是 那么当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立． 书本例1 用数学归纳法证明： 推到第一张骨牌递推基础 递推依据 用数学归纳法证明 凑假设 凑结论 书本例3 凑假设 凑结论