江苏王华明构造圆巧解题.doc

构造圆 巧解题 江苏省兴化市戴泽初级中学 王华明 225721 邮箱：xhdzwhm@163.com 手机我们在做几何类题目感到无从下手时，往往会想到作辅助线。作什么样的辅助线，应该根据具体的条件。比如直角三角形中，出现了斜边的中点，我们会想到作斜边的中线；三角形中出现了两边的中点，我们会想到作中位线；出现30°、45°、60°的角，我们会想到作垂直构造直角三角形；出现圆的切线，我们会想到把圆心和切点连接起来，得到垂直……那什么条件下，应该作圆呢？来看看下面几种情况。 遇到旋转构造圆 例1、如图正方形ABCD的边长为4㎝，正方形AEFG的边长为1㎝。 如果正方形AEFG绕点A旋转一周，设C、F两点之间的距离是d㎝， 求d的取值范围。 解：∵正方形AEFG绕点A旋转一周 ∴点F的运动路径是以A为圆心，AF长为半径的圆 连接C、A并延长，交⊙A于点 M、N 易知CN是d的最大值 CM是d的最小值 由勾股定理得AF= CA=4 CN=AN+CA=+4=5 CM=CA-AM=4-=3 ∴3≤d≤5 例2、在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ180°），得到△A′B′C。设AC中点为E，A′B′中点为P，AC=a，连接EP，当θ为多少度时，EP长度最大，最大值是多少。 解：∵△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ180°） ∴点P的运动路径是以C为圆心，CP长为半径的半圆 延长EC交⊙C于点M，显然EM的长是EP的最大值 ∵∠ACB=90°，∠ABC=30° ∴∠BAC =60° AB=2AC=2 a 当AB与A′B′重合时 ∵∠ACB=90°A′B′中点为P ∴CP=AP=AB= a 又∵∠BAC =60° ∴△ACP是等边三角形 ∴∠ACP=60° ∴θ=∠PCM=120° EM=EC+CM=a+ a=a 二、到定点距离相等构造圆 例3、在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2,2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，求点P的坐标。 解：若OP=AP，则点P是OA的中垂线与x轴的交点 过点A作x轴的垂线 垂足为 B, ∵点A的坐标是（2,2） ∴OB=AB ∴点B在OA的中垂线上 ∴点B与点P重合 ∴点P的坐标为（2,0） 若AO=AP，则点P是以A为圆心，AO长为半径的圆与x轴的交点 由垂径定理得OP=2OB=4 ∴点P的坐标为（4,0） 若OA=OP，则点P是以O为圆心，OA长为半径的圆与x轴的交点 OP=OA=2 ∴点P的坐标为（2，0）或（-2，0） 综上所述：点P的坐标为（2,0）（4,0）（2，0）（-2，0） 例4、已知：△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，F是AB的中点，若AB=4，求S△DEF。 解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，F是AB的中点 ∴DF=AB=BF=AF=2 EF=AB ∴DF=EF=BF=AF ∴点D、E、A、B在以F为圆心，AB长为半径的圆上 ∵∠C=60°BE⊥AC ∴∠EBC=30° ∵点D、E、A、B在以F为圆心，AB长为半径的圆上 ∴∠DFE=2∠EBC=60° ∵DF=EF ∴△DEF是等边三角形 作FH⊥DE于H 可求FH= ∴S△DEF=FH?DE=××2= 确定直角顶点构造圆 例5、如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-1,0），点B坐标（3,0）， 在y轴上取一点C使∠ACB=90°，求点C的坐标。 解：∵点A坐标为（-1,0），点B坐标（3,0） ∴AB=4 ∵直径所对的圆周角是直角 ∴以AB中点D为圆心，2为半径作圆与y轴交点就是所求点C 由勾股定理可得OC= ∴C坐标为（0，）或（0，-） 综上所述，解题时作辅助线并不难，关键是要做有心人，根据不同的条件作出相应的辅助线，难题往往会迎刃而解。 D H C B A B C x C O y M N G F E D C B A E M B B′ P C P A′ A y x P P P P A O F A B E D C y O C x C B A θ