空间向量单元检测.doc

空间向量单元检测 (时间：120分钟；满分：160分)．在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是________．．已知、，、为邻边的平行四边形的面积为 ．．如图，正方体的棱长为1，、是两棱中点，、、是顶点，则点到截面的距离是__________． 4．如图，在直三棱柱中，，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）．若⊥，则线段的长度的取值范围是 ．．如图，在长方体中，已知，，，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）试在面上确定一点G，使平面． 6．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，底面 ，为的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求平面与平面所成的二面角的余弦值． ．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，．（1）试确定，使直线与平面所成角为； （2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，⊥，并证明你的结论． ．在正方体中，是的中点，是线段上一点，且． （1）若，求异面直线与所成角的余弦值； （2）若平面⊥平面，求的值． ．如图， 在直三棱柱中，，，，． （）设，异面直线与所成角的余弦值为，求的值； （）若点是的中点，求二面角的余弦值．．如图，在四棱锥中，已知⊥底面，⊥，∥， ＝＝2，⊥，异面直线和所成角等于． （）求直线和平面所成角的正弦值的大小； （）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由． ．如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点． （1）求异面直线和所成的角的余弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）若点在正方形内部或其边界上，且平面， 求的最大值、最小值． ．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． （1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？ （2）若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置．空间向量单元检测答案 ． 　　　 2． 　　　 3． 　　　 4． 5．如图，在长方体中，已知，，，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）试在面上确定一点G，使平面． 解：以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系， 则有，，，，， （1），．3分 设与所成角为，则 ∴异面直线与所成角的余弦值为．5分 （2）因点在平面上，故可设． ，，．7分 由得解得． 故当点在面上，且到，距离均为时，平面．10分 6．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面， ，为的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求平面与平面所成的二面角的余弦值． 解作于点P，如图，分别以AB，AP，AO 所在直线为轴建立坐标系， 则， ．2分 （1）设与所成的角为，， ， 与所成角的大小为．5分 （2），， 设平面OCD的法向量为． 则，即 ，取，，，即有．6分 易知 平面OAB的一个法向量为． ．9分 由图形知，平面与平面所成的二面角的余弦值为．10分7．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上 的一点，． （1）试确定，使直线与平面所成角为60o； （2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，⊥，并证明你的结论． 解：为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)， B(1，1，0)， P(0，1，m)，C(0，1，0)， D(0，0，0)，B1(1，1，2)， D1(0，0，2)． （1） ．分 又由为平面的一个法向量． 设与所成的角为， 则=，解得． 故当时，直线AP与平面所成角为60o．分（2）在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x， 则． 依题意， 即Q为的中点时，满足题设的要求．分8．在正方体中，是的中点，是线段上一点，且． （1）若，求异面直线与所成角的余弦值； （2）若平面⊥平面，求的值． 解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立空间直角坐标系． 则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)， E． （1），．分 由cos＝＝．[来源:Zxxk．Com] 所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为．分 （2）设平面CD1O的向量为=(x1，y1，z1)，由·＝0，·＝0得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即=(1，1，1) ．分 由D1E＝λEO，则E，=．[来源:学科网ZXXK] 又设平面CDE的法向量为＝(x2，y2，z2)，由·＝0，·＝0． 得 取x2=2，得z2＝－λ，即＝(－2，0，λ) ． 因为平面CDE⊥平面CD1F，所以·＝0，得λ＝2