第2节函数与导数.doc

第2节 函数与导数 一、知识框架 1.导数的定义： 2.导数的几何意义： 3.导数运算公式及四则运算 4.导数的应用 （1）曲线的切线（2）函数单调性（3）极值与最值（4）优化问题 二、基础自测 1. 直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x0)的一条切线，则实数b的值是________． 设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 若函数f(x)＝＋ln x在区间(m，m＋2)上单调递减，则实数m的范围是________．f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则_______若方程ln x－2x－a＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是________．在上有最小值，则实数的取值范围是 三、典型例题 例1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，bR)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若在上单调递减，求的取值范围。 例3.若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点； (3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数． 已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值； (2)对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明对一切x(0，＋∞)，都有ln x－成立． 已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a0，a≠1)． (1)当a1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值； (3)若存在x1，x2[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围． 已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不是单调函数，则t的取值范围是________．．曲线在点(1，f(1))处的切线方程为 已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是 4. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝ex(x0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________． 5. 已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a0，b0． （Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值； （Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[]，求： （1）函数h（x）在区间（一∞，-1]上的最大值M（a）； （2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范围。 函数且x≠1)． （1）若函数在上为减函数，求实数a的； （2）若使f(x1)≤成立，求实数a的取值范围． ln 2－1 3. 0≤m≤1. 4. 5. (－∞，－1－ln 2) 二、典型例题 例1. 解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3. 根据题意，得即 解得 所以f(x)＝x3－3x. (2)因为点M(2，m)(m≠2)不在曲线y＝f(x)上，所以可设切点为(x0，y0)．因为f′(x0)＝3x－3，所以切线的斜率为3x－3. 则3x－3＝，即2x－6x＋6＋m＝0. 因为过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，所以方程2x－6x＋6＋m＝0有三个不同的实数解． 所以函数g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三个不同的零点． 则g′(x)＝6x2－12x.令g′(x)＝0，则x＝0或x＝2. x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  极大值  极小值  则即解得－6m2. 所以m的取值范围为(－6,2)． 例2. 答案：（1）单调减区间为，单调增区间为； （2实数的取值范围为。 例3. (1)由题设知f′(