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第3章§3.3极大值与极小值3.3.2
3.3.2 极大值与极小值
课时目标 1.了解极大(小)值的概念.2.结合图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值.
1.若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧__________,右侧__________.类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧__________,右侧________.
我们把f(a)叫做函数的__________;f(b)叫做函数的__________.极大值和极小值统称为________.极值反映了函数在______________的大小情况,刻画的是函数的________性质.
2.函数的极值点是______________的点,导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点.
3.一般地,求函数f(x)的极值的方法是:
解方程f′(x)=0.当f′(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是__________;
(2)如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是__________;
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变,则f(x0)____________.
一、填空题
1.已知函数f(x),xR,且在x=1处f(x)存在极小值,则成立的结论为________.(填序号)
当x(-∞,1)时,f′(x)0,
当x(1,+∞)时,f′(x)0;
当x(-∞,1)时,f′(x)0,
当x(1,+∞)时,f′(x)0;
当x(-∞,1)时,f′(x)0,
当x(1,+∞)时,f′(x)0;
当x(-∞,1)时,f′(x)0,
当x(1,+∞)时,f′(x)0.
2.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a=______,b=______.
3.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围为________.
4.函数f(x)=x+在x0时有________.(填序号)
极小值;
极大值;
既有极大值又有极小值;
极值不存在.
5.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为________.
6.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=______.
7.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a、b的值分别为________、________.
8.函数f(x)=x3-3a2x+a(a0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是________.
二、解答题
9.求下列函数的极值.
(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=xe-x.
10.设函数f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
能力提升
11.已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,bR,ab).
(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.
证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.
1.求函数的极值问题要考虑极值取到的条件,极值点两侧的导数值异号.
2.极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用,以及与单调性问题的综合,利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题.
3.3.2 极大值与极小值
知识梳理
1.f′(x)0 f′(x)0 f′(x)0 f′(x)0
极小值 极大值 极值 某一点附近 局部
2.导数为零 不一定
3.(1)f′(x0)0 f′(x0)0 极大值 (2)f′(x0)0 f′(x0)0 极小值 (3)不是极值
作业设计
1.
解析 f(x)在x=1处存在极小值,
x1时,f′(x)0,x1时,f′(x)0,
故成立.
2.-3 -9
解析 由题意y′=3x2+2ax+b=0的两根为-1和3,由根与系数的关系得,
-1+3=-,-1×3=,a=-3,b=-9.
3.(0,1)
解析 f′(x)=3x2-3b,要使f(x)在(0,1)内有极小值,则,即,解得0b1.
4.
解析 f′(x)=1-,
由得x1,即在(1,+∞)内f′(x)0,
由得0x1,
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