第4节三角函数的图像和性质.doc

第4节 三角函数的图像和性质 一、知识框架 1、会求三角函数的定义域、值域、周期 2、的递增区间是 ，递减区间是 ； 的递增区间是 ，递减区间是 ， 的递增区间是 ， 3、对称轴与对称中心： 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 ； 4、由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径， 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移 个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负 二、基础自测 1、函数的最小正周期为___________. 【答案】 2、函数的最小正周期为为_________. 【答案】 3、函数的最大值是_________. 5 4、函数，的单调递增区间为_________. 5、已知函数f (x)＝2sin(ωx＋?)(?＞0)的部分图象如图所示， 则ω＝ ．答案： 6、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．答案：6)2 7、将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数的图象，则的一个解析式为________． 8、已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0φπ，ω0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的两条对称轴之间的最小距离为π2，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2cos 2x 9、将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的取值为________． 10、将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是________． 三、典型例题 例1．求下列函数的单调区间： （1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。 分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。 故由2kπ－≤－≤2kπ+3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］， 递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。 （2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］（k∈Z）。 例2、 （1）函数的奇偶性是______ （答：偶函数）； （2）已知函数为常数），且，则______ （答：－5）； （3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______ （答：、）； （4）已知为偶函数，求的值。 （答：） 例3、已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【答案】解: (Ⅰ) =. 最小正周期. 所以最小正周期为. (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. 例4、函数，函数，若存在，使得成立，求实数m的取值范围。 例5、已知函数，给出下列四个说法： ①若，则； ②的最小正周期是； ③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是 . 四、巩固提升 1、函数的一条对称轴为，则_______________.答案： 2、求函数的对称轴. 答案： 3、已知函数是上的偶函数，求. 答案： 4、函数的单调增区间为_______________. 答案： 5、是正实数，函数在上递增，则______________.答案： 变式：如果函数在上是增函数，那么的取值范围是__________.答案： 如果函数在上的最小值是，那么的最小值是______________.答案：2 6、关于的方程在上有两个不等的实数根,则实数 的取值范围是 答案： 7、已知函数，求的最大、最小值. 答案：2，—2