第5节三角恒等变换与解三角形.doc

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第5节三角恒等变换与解三角形

第5节 三角恒等变换与解三角形 一、知识框架 1、两角和差公式: 2、二倍角公式: 升幂公式: 降幂公式: 3、正弦、余弦定理: 二、基础自测 1、求下列各式的值 ⑴⑵ = _ ___ ⑶=__________ 答案: 2、已知是方程的两根,则 若,则化简为_________. 化简 是锐角,且,则的值是 ⑵若,则= ⑶已知,那么=_______________ 5、⑴在中,若,,,则边的长等于________. ⑵在△中,,,分别是,,的对边,且 则=________. 6、已知在⊿ABC中,,则此三角形的形状为       三角形。 7、在中,若其面积为则角C=________. 8、三角形ABC中,,则________. 9、若=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=________. 解析:由题意得=3.所以tan α=2. 又tan(α-β)=2,所以tan(β-α)=-2. 所以(β-2α)=tan[(β-α)-α]==. 答案: 10、-sin 10°(tan-15°-tan 5°)=________. 解析:原式=-sin 10° =-2cos 10°= = = =cos 30°=. 答案: 11、在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________. 解析:设A=θ,则B=2θ.由正弦定理得=, ∴=1?=2. 由锐角△ABC得0°2θ90°?0°θ45°, 又0°180°-3θ90°?30°θ60°,故30°θ45°?cos θ, ∴AC=2cos θ∈(,). 答案:2 (,) 12、在△ABC中,A为最小角,C为最大角,已知cos(2A+C)=-,sin B=,则cos 2(B+C)=________. 解析:∵A为最小角, ∴2A+C=A+A+CA+B+C=180°. ∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)=. ∵C为最大角,∴B为锐角. 又sin B=,故cos B=. 即sin(A+C)=,cos(A+C)=-. ∵cos(B+C)=-cos A=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-,∴cos 2(B+C)=2cos2(B+C)-1=. 答案: 三、典型例题 例1 、已知βα,cos(α-β)=,sin(α+β)=-. (1)用α+β,α-β表示2α;(2)求sin 2α,cos 2α的值. [解] (1)2α=(α-β)+(α+β). (2)因为βα, 所以0α-β,πα+β. 又因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-, 所以sin(α-β)==,cos(α+β)==-. 所以sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) =×+×=-, cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)] =cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) =×-×=-. 例2、在斜三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若2sin Acos C=sin B,求的值; (2)若sin(2A+B)=3sin B,求的值. [解] (1)由正弦定理得=. 从而2sin Acos C=sin B可化为2acos C=b. 由余弦定理得2a×=b. 整理得a=c,即=1. (2)在斜三角形ABC中,A+B+C=π, 所以sin(2A+B)=3sin B可化为sin[π+(A-C)]=3sin[π-(A+C)], 即-sin(A-C)=3sin(A+C). 故-sin Acos C+cos Asin C=3(sin Acos C+cos Asin C). 整理得4sin Acos C=-2cos Asin C, 因为△ABC是斜三角形,所以cos Acos C≠0, 所以=-. 例3、设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是________. ①若abc2,则C; ②若a+b2c,则C; ③若a3+b3=c3,则C; ④若(a+b)c2ab,则C; ⑤若(a2+b2)c22a2b2,则C. [解析] ①abc2?cos C==?C; ②a+b2c?cos C=; ③当C≥时,c2≥a2+b2?c3≥a2c+b2ca3+b3与a3+b3=c3矛盾;[来源:Z_xx_k.Com] ④取a=b=2,c=1满足(a+b)c2ab得C; ⑤取a=b=2,c=1满足(a2+b2)c22a2b2得C. [答案] ①②③ 例4、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为_

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