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第5节三角恒等变换与解三角形
第5节 三角恒等变换与解三角形
一、知识框架
1、两角和差公式:
2、二倍角公式:
升幂公式:
降幂公式:
3、正弦、余弦定理:
二、基础自测
1、求下列各式的值
⑴⑵ = _ ___ ⑶=__________
答案:
2、已知是方程的两根,则
若,则化简为_________.
化简
是锐角,且,则的值是
⑵若,则=
⑶已知,那么=_______________
5、⑴在中,若,,,则边的长等于________.
⑵在△中,,,分别是,,的对边,且 则=________.
6、已知在⊿ABC中,,则此三角形的形状为 三角形。
7、在中,若其面积为则角C=________.
8、三角形ABC中,,则________.
9、若=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=________.
解析:由题意得=3.所以tan α=2.
又tan(α-β)=2,所以tan(β-α)=-2.
所以(β-2α)=tan[(β-α)-α]==.
答案:
10、-sin 10°(tan-15°-tan 5°)=________.
解析:原式=-sin 10°
=-2cos 10°=
=
=
=cos 30°=.
答案:
11、在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________.
解析:设A=θ,则B=2θ.由正弦定理得=,
∴=1?=2.
由锐角△ABC得0°2θ90°?0°θ45°,
又0°180°-3θ90°?30°θ60°,故30°θ45°?cos θ,
∴AC=2cos θ∈(,).
答案:2 (,)
12、在△ABC中,A为最小角,C为最大角,已知cos(2A+C)=-,sin B=,则cos 2(B+C)=________.
解析:∵A为最小角,
∴2A+C=A+A+CA+B+C=180°.
∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)=.
∵C为最大角,∴B为锐角.
又sin B=,故cos B=.
即sin(A+C)=,cos(A+C)=-.
∵cos(B+C)=-cos A=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-,∴cos 2(B+C)=2cos2(B+C)-1=.
答案:
三、典型例题
例1 、已知βα,cos(α-β)=,sin(α+β)=-.
(1)用α+β,α-β表示2α;(2)求sin 2α,cos 2α的值.
[解] (1)2α=(α-β)+(α+β).
(2)因为βα,
所以0α-β,πα+β.
又因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
所以sin(α-β)==,cos(α+β)==-.
所以sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=×+×=-,
cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]
=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)
=×-×=-.
例2、在斜三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若2sin Acos C=sin B,求的值;
(2)若sin(2A+B)=3sin B,求的值.
[解] (1)由正弦定理得=.
从而2sin Acos C=sin B可化为2acos C=b.
由余弦定理得2a×=b.
整理得a=c,即=1.
(2)在斜三角形ABC中,A+B+C=π,
所以sin(2A+B)=3sin B可化为sin[π+(A-C)]=3sin[π-(A+C)],
即-sin(A-C)=3sin(A+C).
故-sin Acos C+cos Asin C=3(sin Acos C+cos Asin C).
整理得4sin Acos C=-2cos Asin C,
因为△ABC是斜三角形,所以cos Acos C≠0,
所以=-.
例3、设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c;则下列命题正确的是________.
①若abc2,则C;
②若a+b2c,则C;
③若a3+b3=c3,则C;
④若(a+b)c2ab,则C;
⑤若(a2+b2)c22a2b2,则C.
[解析] ①abc2?cos C==?C;
②a+b2c?cos C=;
③当C≥时,c2≥a2+b2?c3≥a2c+b2ca3+b3与a3+b3=c3矛盾;[来源:Z_xx_k.Com]
④取a=b=2,c=1满足(a+b)c2ab得C;
⑤取a=b=2,c=1满足(a2+b2)c22a2b2得C.
[答案] ①②③
例4、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为_
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