第7节空间线面的平行与垂直关系.doc

第7节 空间线面的平行与垂直关系 知识框架 常用定理:①线面平行;; ②线线平行:;;; ③面面平行:;; ④线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理? ⑤线面垂直:;;; ⑥面面垂直：二面角900; ; ．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件： 存在一条直线a，aα，aβ；存在一个平面γ，γα，γβ； 存在两条平行直线a，b，aα，bβ，aβ，bα. ④存在两条异面直线a，b，aα，bβ，aβ，bα. 其中是平面α平面β的充分条件的为________．(填上所有符合要求的序号) 解析：中的α与β可以相交． 答案： 2．给出下列四个命题： 如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交； ②如果平面α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β； 如果平面α平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直； 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β. 真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 解析：中α内存在与β平行的直线；中α内只有垂直于交线的直线才垂直于β；、正确． 答案： 3. 给出下列命题： （1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； （2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，所有真命题的序号为 答案：、、 4. 现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 则所有真命题的序号是 ． 答案：①③④ 5. 设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若，则， ②若，则, ③若 ④若，则, 其中正确的命题序号是 ．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝＝2，＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：(1) MN∥平面PCD；(2) 四边形MNCD3) DN⊥平面PCB. 证明：(1) 因为点M、N分别是PA、PB的MN∥AB. 因为CD∥AB，所以MN∥CD.(2分)又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN∥平面PCD.(4分)(2) 因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以CD⊥PD.因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.(6分)因为MD平面PAD，所以CD⊥MD.又MN∥CD，MN≠CD，所以四边形MNCD是直角梯形．(8分)(3) 因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60(9分)在中，AD＝，PD＝，PA＝2，MD＝在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝，CD＝3，CN＝＝，从而DN＋CN＝CD，所以DN⊥CN.(11分)在中，PD＝DB＝，NPB的中点，则DN⊥PB.(13分)又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.(14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中点为中点点在. (1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1； (2)求证：EF //平面ABB1A1. 证明：() 因为三棱柱ABC-A1B1C1以以以以以(2) 连结以为中点点以以以中, , 为棱上任一点. (1)求证：直线∥平面； (2)求证：平面⊥平面. (1)证明:由直三棱柱,得……………………………………4分 而,所以直线∥平面………………………7分 (2)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又, 而,,且,所以……………11分 又,所以平面⊥平面…………………………………14分 例4、如图，在正三棱柱是侧面对角线的交点侧面对角线的交点是棱的中点求证 （1）平面 （2）平面 解：（1）连结 因为分别是侧面和侧面的对角线的交点， 所以分别是的中点 所以平面中，平面中， 故平面 （2）因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面． 故由得 又因为是棱的中点，且为正三角形，． 故由得 而，平面，所以平面又平面，故平面平面中，已知平面平面且,. 求证： 若为棱的中点，求证：平面. ⑴在四边形中，因为，，所以，……………2分 又平面平面，且平面平面， 平面，所以平面，………4分 又因为平面，所以．中，因为，且为中点，所以，………9分 又因为在四边形中，，， 所以，，所以，所以，…………12分 因为