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第二讲判别式——二次方程根的检测器(含答案)-
第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格,工厂里通常使用各种检验仪器,为了辨别钞票的真伪,银行里常常使用验钞机,类似地,在解一元二次方程有关问题时,最好能知道根的特性:如是否有实数根,有几个实数根,根的符号特点等.我们形象地说,判别式是一元二次方程根的“检测器”,在以下方面有着广泛的应用:
利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性;
运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围;
通过判别式,证明与方程相关的代数问题;
借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题.
【例题求解】
【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是 .
思路点拨 利用判别式建立关于的不等式组,注意、的隐含制约.
注:运用判别式解题,需要注意的是:
(1)解含参数的二次方程,必须注意二次项系数不为0的隐含制约;
(2)在解涉及多个二次方程的问题时,需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下,综合运用方程、不等式的知识.
【例2】 已知三个关于的方程:,和,若其中至少有两个方程有实根,则实数的取值范围是( )
A. B.或 C. D.
思路点拨 “至少有两个方程有实根”有多种情形,从分类讨论人手,解关于的不等式组,综合判断选择.
【例3】 已知关于的方程,
(1)求证:无论取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形△ABC的一边长=1,另两边长、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
思路点拨 对于(1)只需证明△≥0;对于(2)由于未指明底与腰,须分或、中有一个与c相等两种情况讨论,运用判别式、根的定义求出、的值.
注:(1)涉及等腰三角形的考题,需要分类求解,这是命题设计的一个热点,但不一定每个这类题均有多解,还须结合三角形三边关系定理予以取舍.
(2)运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉,而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考,竞赛依托判别式的创新题型,解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.
【例4】 设方程,只有3个不相等的实数根,求的值和相应的3个根.
思路点拨 去掉绝对值符号,原方程可化为两个一元二次方程.原方程只有3个不相等的实数根,则其中一个判别式大于零,另一个判别式等于零.
【例5】已知:如图,矩形ABCD中,AD=,DC=,在 AB上找一点E,使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似,设AE=,问:这样的点E是否存在?若存在,这样的点E有几个?请说明理由.
思路点拨 要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似,点E必须满足∠AED+∠BEC=90°,为此,可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC,建立一元二次方程的数学模型,通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数.
注:有些与一元二次方程表面无关的问题,可通过构造方程为判别式的运用铺平道路,常见的构造方法有:
(1)利用根的定义构造;
(2)利用根与系数关系构造;
(3)确定主元构造.
学历训练
A组
1.已知,若方程有两个相等的实数根,则= .
2.若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是 .
3.已知关于方程有两个不相等的实数解,化简= .
4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
5.已知一直角三角形的三边为、、,∠B=90°,那么关于的方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
6.如果关于的方程只有一个实数根,那么方程的根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根
7.在等腰三角形ABC中,∠ A、∠B、∠C的对边分别为、、,已知,和是 关于的方程的两个实数根,求△ABC的周长.
8.已知关于的方程.
(1)求证:无论m取什么实数,方程总有实数根;
(2)如果方程的两实根分别为、,满足=3,求实数的值.
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