数学物理方法-7.1拉普拉斯变换详解.ppt

第七章 拉普拉斯（拉氏）变换 拉普拉斯变换的概念 拉氏变换的简单性质 拉氏逆变换 拉氏变换的应用举例：解常微分方程 目标要求 掌握拉氏变换的基本概念，理解其主要性质； 会求简单函数的拉氏变换； 理解拉氏逆变换，掌握其求解方法。 拉氏变换的概念 （1）：这是一种积分变换； （2）：s是复数，在积分中视为常数； （3）：拉氏变换存在的条件；（pp158，定理1） （4）：若f(t)连续，则f(t)和F(s)一一对应。 原问题 变换 较易解决的问题 （函数） （函数） 拉氏逆变换： 实函数f(t)的拉氏变换定义为 记为 称为f(t)的象函数 几个简单函数的拉氏变换 例1：单位跃迁函数 要保证t?∞时，无穷积分收敛，则要求s的实部0 指数函数的拉氏变换 例2：指数函数 (k是实数) 要保证t?∞时，上述无穷积分收敛，则要求k-s的实部0，即Re[s]k，那么 三角函数的拉氏变换 例3：三角函数 (k是实数) 单位脉冲函数的拉氏变换 例4：单位脉冲(Dirac)函数 ε 1/ε 狄拉克(Dirac, 1902-1984) 英国理论物理学家，量子力学的创始者之一 因狄拉克方程获得1933年诺贝尔奖 该方程从理论上预言了正电子的存在 年少的他害羞而孤独，对前途迷茫未卜 在义务教育阶段连跳几级，在16岁时完成了中学学业 1921年，狄拉克以优异成绩从布里斯托尔大学毕业，但没能找到工作，1923年秋入学剑桥大学 1925年开始研究由海森伯格等人创立的量子力学，1926年发表题为《量子力学》的论文 1928年他把相对论引进了量子力学，建立了相对论形式的薛定谔方程，也就是著名的狄拉克方程。 周期函数的拉氏变换 例5：用这条性质验证三角函数的拉氏变换，即 周期函数的拉氏变换 , t0, T0 拉氏变换的简单性质：微分性质 线性性质：和的拉氏变换等于拉氏变换的和 例6：求多项式函数 f(t)=antn + an-1tn-1 +…+ a1t + a0 (n为正整数) 的拉氏变换。 微分性质：若 ，则 例6：求多项式函数 f(t)=antn + an-1tn-1 +…+ a1t + a0 (n为正整数) 的拉氏变换。 象的微分 性质3（变象的微分）设L[f(t)]=F(s)，则 一般地，有 例7：采用上述性质，计算 积分性质 性质4（积分性质）设L[f(t)]=F(s)，则 例8：采用上述性质，计算 象的积分性质 例9：采用上述性质，计算 性质5（象的积分性质）设L[f(t)]=F(s)，且积分 存在，则 拉氏变换的性质：位移性质 例10：采用上述性质，计算 ，其中n为正整数 性质6（位移性质）设L[f(t)]=F(s)，则 拉氏变换的性质：延迟性质 性质7（延迟性质）设L[f(t)]=F(s)，那么，函数 例11：采用上述性质，计算 的拉氏变换为 拉氏逆变换 定理1（存在性）设L[f(t)]=F(s)，Re(s)c，那么，当t0时，在f(t)在每一个连续点处成立 其中积分是沿任一直线Re(s)=βc进行的，且当t0时 拉氏逆变换 定理2（如何求）设s1, s2, …, sn是函数F(s)的所有奇点，适当选取β使这些奇点满足在Re(s)β内，且当s?∞时，F(s)?0，则有 那么，求拉氏逆变换转化为求复积分或留数。 拉氏逆变换的计算 例12：求拉氏逆变换 拉氏逆变换的计算 例12：求拉氏逆变换 卷积和卷积定理 卷积公式 例如： 求f1(t)*f2(t). 卷积的性质 1、交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 2、分配律： f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+ f1(t)*f3(t) 3、结合律： f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)] 卷积定理即应用 卷积定理 那么 若 拉氏变换的应用：解常微分方程 例14：求解微分方程的特解 拉氏变换的应用：解常微分方程 例15：求解微分方程组的特解 初始条件