第十二讲方程与函数(含答案)-.doc

第十二讲 方程与函数 方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决． 方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答． 【例题求解】 【例1】 若关于的方程有解，则实数m的取值范围 ． 思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围． 【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根， ，且1，那么取值范围是( ) A． B． C． D． 思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满足1的的值，注意判别式的隐含制约． 【例3】 已知抛物线 ()与轴交于两点A(，0)，B(，0)( ≠)． (1)求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧； (2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求的值． 思路点拨 、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点． 【例4】 抛物线与轴的正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍． (1)求这条抛物线的解析式； (2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由． 思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论． 【例5】 已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方． (1)求证：此抛物线与轴交于两点； (2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且 ，求证： ． 思路点拨 对于(1)，即要证；对于(2)，即要证． 注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识． (2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组． (3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数（）的图象与轴交于A（，0），B(，0)两点，顶点为C． ①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=． ②△ABC是等边三角形的充要条件是：△= 学历训练 A组 1．已知关于的函数的图象与轴有交点，则m的取值范围是 ． 2．已知抛物线与轴交于A (，0)，B(，0)两点，且，则 ． 3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l；②当xx2，时，yO；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1－l，x2－l；⑤x2－x1=，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ． 4．设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则＝( )． A．8 B．一4 C．1l D．一4或11 5．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是 ( ) A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0 C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0 6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范围是( ) A．-1 B．＝1 C．≥1 D．非上述答案 7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．（1）a、c的符号之间有何关系？（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中