第十五讲平面向量的数量积.doc

第讲　平面向量的数量积 1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab. 2．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 3．向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)a⊥b?a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6．平面向量数量积的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝； (4)a⊥b?a·b＝0x1x2＋y1y2＝0. 7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)． 一个条件 两个向量垂直的充要条件：ab?x1x2＋y1y2＝0. 两个探究 (1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？ 三个防范 (1)若a，b，c是实数，则ab＝acb＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等． (3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°. 双基自测 1．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是． A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c) 3．若向量a，b，c满足ab，且ac，则c·(a＋2b)＝．4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a(a－b)，则实数x等于． 5．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 【例1】在ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________. 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识． 【训练1】 如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________. 考向二　利用平面向量数量积求夹角与模 【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求距离常用的公式． 【训练2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 考向三　平面向量的数量积与垂直问题 【例3】已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(xR)． (1)若ab，求x的值； (2)若ab，求|a－b|. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算． 【训练3】 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且，求实数m，n的值． 　　考向【例】ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝. (1)求·； (2)若c－b＝1，求a的值．