第十课翻滚的数学函数问题.doc

活动一 翻滚的数学函数问题 主备人： 李俭昌 一 问题的提出 一个矩形ABCD所在的平面与地面垂直，点A在地面上，AB=a，BC=b，AB与地面成角，如图所示，若记点C到地面的距离为h，试用的函数表示h，并且求出h的最大值。（必修4，P112） 分析：要将h表示为的函数， 关键在于考察h与、边长a，b 的关系。 解：如图过B作地面的垂线，交地 面于E，过B作地面的平行线BF， 与过C作地面的垂线CF交于F。 则BE=， 又因为， 所以， 所以。 又因为 记，， 则， 又因为 所以 所以h的最大值为。 二 知识准备 1.函数的概念，函数的定义域与值域的相关知识； 2.平面直角坐标系的建立，如何选择适当的元素作为直角坐标系的x，y轴，建立适当的坐标系解决问题； 3.图形翻滚过程中的变量与不变量的确定； 4.在运动过程中的参数的选择。 三 学生活动 活动1.在平面直角坐标系中，已知一个直角三角形ABC的三边长分别为3,4,5（C为直角顶点，BC=3，AC=4），把这个直角三角形放在直 角坐标系中，如图3所示，现在将这个三角形 逆时针翻滚（无滑动），画出翻滚一周点C所在 轨迹的曲线的图形。 解：图形在第一次翻滚过程中，点C是在以A为圆心，AC为半径的一个圆上，如图4所示， 由三角形中的知识可知，所以第一次翻滚过程中，点C运动的轨迹为一段圆弧， 如此继续下去，得到的圆弧的如下如下。 最后曲线的运动轨迹如图8所示。 活动2.一个半径为5的圆，如图9所示放在直角坐标系中，圆以的速度逆时针方向旋转（无滑动）开始时点P在坐标原点，求t秒时点P的坐标。 解：圆以每秒2的速度逆时针方向 滚动，则t秒时半径CP旋转的角度 为2t弧度，如图10所示。即 过P作x轴的垂线PM交x轴于M， 设P点的坐标为（x,y）, 由题意可知弧的长度等于， 而弧， 所以， ， 所以， 四 课后研究与探索 探索1.在问题的提出中，若长方形在地面上翻滚，试画出长方形翻滚一周的过程中，点C的运动的轨迹。 长方形在翻滚过程中， 分别以A/B.C D/A 为圆心旋转得到的圆弧， 其轨迹如图所示。 探索2 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M、N，切曲线于点P，设． ( I)将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)； (II)若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值． 解：（Ⅰ）的斜率为， 直线的方程为 令得 令,得, 的面积, （Ⅱ）,由,得, 当时, , 当时, . 已知在处, ,故有， 故当时, 启东市汇龙中学校本课程 高中数学活动室 A 地面 h D C B A B C D h 地面 E F x y A B C O 图3 图4 x y A B C O 图5 x y A B C O 图6 x y A B C O 图7 图8 y A B C O y A B C O 图9 y A 图10 P O C C D C y C O x C M 地面 B 地面 A D B 图11