运用数形结合的思想方法解题.docx

专题二十二 运用数形结合的思想方法解题【典题导引】例1.（数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题）（1）函数的值域为．（2）若实数、满足条件，则的取值范围是_________.（3）的最大值为．（4）若实数、、、满足，则的最小值为．解：(1)令，则，设点，，则，从而问题化归为半圆上的动点与定点连线的斜率的取值范围．结合图形易求得．(2)，，　　令，则为双曲线上动点与坐标原点连线的斜率，结合图形易求得，，其值域为．(3)令，，则，从而问题化归为求圆上点与圆上点距离平方的最大值．结合图形易求得，　．(4)令，，则，且点，分别在函数，的图象上．结合图形易知为函数图象与直线平行的切线的切点与直线的距离，可求得切点，，．例2.（数形结合解决隐含轨迹问题）（1）已知，则与的夹角的取值范围为．（2）已知是平面上三个不同的点，若存在实数，使得，则的取值范围是．（3）设是等腰腰的中点，若，则面积的最大值为．解：(1)，，点是圆上的任意一点，结合图形易求得与的夹角的取值范围为．(2)题设有点、是椭圆上的点，为其左焦点，且，，三点共线，结合图形知与同向，由得．由椭圆的焦半径性质得．(3)不妨设，则，．，以中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，易求得点的轨迹方程为，．例3.已知函数，.（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的最大值.解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于的解或无解，结合图形得；（2）因为=当时，结合图形可知在上递减，在上递增，且，经比较，此时在上的最大值为.当，即时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，，经比较，知此时在上的最大值为.当，即时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，，经比较，知此时在上的最大值为.当，即时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且, ，经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递增，在上递减，故此时在上的最大值为.综上，当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为.例4.（2010江苏改编）设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，给定，，设m为实数，，，且，，若，求的取值范围．解：由题意，得，又对任意的都有，所以对任意的都有，在上单调递增．又，．当，时，，且，，，或.若，则，,不合题意.，即解得，；当时，，，符合题意；当时，，且，，同理有，即解得，，综合以上讨论得：所求的取值范围是．【归类总结】1．“数”与“形”之间是有紧密联系的，既可以由“数”来研究“形”，也可以由“形”来研究“数”，这种“数”与“形”相互转化的数学思想即为数形结合思想．2．数形结合的思想方法的应用可以分为两种情况：一是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合．3．数形结合的途径：（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式：．常见方法有：①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系．②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径．③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题．把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循．（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将与距离互化，将与面积互化，将与余弦定理沟通，将且中的、、与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用．常见的转换途径为：①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题．②利用平面向量的数量关系及模的性质来