高考数学大一轮复习讲义（备考第七章立体几何考点精析苏教版.DOC

第七章　立 体 几 何 第一节空间点、直线、平面之间的位置关系 1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 作用：可用来证明点、直线在平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多线共点． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 作用：用来确定一个平面；证明点线共面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类： (2)异面直线所成的角： 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′a，b′b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 范围：. (3)定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 aα 0个 在平面内 aα 无数个 平面与平面 平行 αβ 0个 相交 α∩β＝l 无数个 1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交． 2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”． [试一试] 1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； (2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； (3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直； (4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直． 上述命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． 解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确． 由线面平行的判定定理可知，(2)正确． 对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出αβ. 对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到lα. 也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α. 答案：(1)(2) 2．若直线ab，且直线a平面α，则直线b与平面α的位置关系是________． 解析：b与α相交或bα或bα都可以． 答案：b与α相交或bα或bα 1．求异面直线所成角的方法 (1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法． (2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合． 3．证明共线问题的两种途径 (1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 4．证明共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [练一练] (2014·镇江期末)如图，在多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1. (1)证明：四边形ABED是正方形； (2)判断B，C，F，G是否四点共面，并说明理由； (3)连结CF，BG，BD，求证：CF平面BDG. 解：(1)证明： AB∥DE. 同理ADBE，则四边形ABED是平行四边形． 又ADAB，AD＝AB，所以四边形ABED是正方形． (2)取DG的中点P，连结PA，PF. 在梯形EFGD中，PFDE且PF＝DE. 又ABDE且AB＝DE，所以ABPF且AB＝PF，所以四边形ABFP为平行四边形，则APBF. 在梯形ACGD中，APCG，所以BFCG， 所以B，C，F，G四点共面． (3)证明：同(1)中证明方法知四边形BFGC为平行四边形． 又有ACDG，EFDG，从而ACEF. ?BE⊥EF. 又BE＝AD＝2，EF＝1，故BF＝.而BC＝，故四边形BFGC为菱形，所以CFBG. 连结AE，又由ACEF且AC＝EF知CFAE. 在正方形ABED中，AEBD，故CFBD. ?CF⊥平面BDG. 考点一 平面的基本性质及应用 1．(2013·南京、盐城三模)已知m，n是两条不