二次函数的知识结构.doc

二次函数的知识结构 一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线，顶点坐标，交点式为（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是和。 ? ? 注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。二次函数公式大全 二次函数? I.定义与定义表达式? 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：? y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）? 则称y为x的二次函数。? 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。? II.二次函数的三种表达式? 一般式：y=ax2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）? 顶点式：y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]? 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]? 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:? h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a? III.二次函数的图象? 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，? 可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。? IV.抛物线的性质? 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线? x = -b/2a。? 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。? 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）? 2.抛物线有一个顶点P，坐标为? P [ -b/2a ，(4ac-b2;)/4a ]。? 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。? 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。? 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。? |a|越大，则抛物线的开口越小。? 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。? 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；? 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。? 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。? 抛物线与y轴交于（0，c）? 6.抛物线与x轴交点个数? Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。? Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。? Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。? V.二次函数与一元二次方程? 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2;+bx+c，? 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），? 即ax2;+bx+c=0? 此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。? 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。