必修5教学问答.doc

高中课程标准实验教科书必修《数学5》（苏教版）教学问答 陈光立（南京外国语学校 210008） 问：如何引导学生探索正弦定理和余弦定理？ 答：以往的解三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上．《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础．解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地．从这一角度看，解三角形的内容为学生运用向量工具解决三角形的度量问题留有余地，进而对运用向量解决几何度量问题奠定了基础． 基于上述认识，教科书在安排正弦定理和余弦定理的公式推导时，都用到了向量的方法．本章在得到正弦定理的猜想后，提出了关于正弦定理证明的四条途径，意在引导学生尝试探究，经历证明的过程，领悟数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想，有利于发展学生的思维能力．教学中，拟结合学生具体情况点拨启发，灵活安排． 关于向量方法探索正弦定理的教学，可从三角形中最基本的向量关系式=+入手，提出“如何将这个向量关系式转化为数量关系式”的问题让学生讨论．学生容易由“数量积是实施向量等式向数量等式转化的有力工具”想到用“点乘”的方法，至于“点乘”哪个向量，可以充分让学生尝试探究．例如，在等式两边同时“点乘”，可得a＝ccosB＋bcosC，这就是射影定理（见习题1.2第7题）；若等式两边同时平方，即两边各自“与自己点乘”，可得a2=b2+c2-2bccosA，这就是余弦定理；如果要想得到两条边与它们所对角之间的关系，就要让第三条边“消失”，那就只能在向量关系式的两边同时“点乘”与垂直的向量，于是可以得到?+?＝0，进而再分类讨论推得正弦定理．这样，用向量方法证明正弦定理的“瓶颈”就不难解决了． 问：怎样处理已知两边及其中一边的对角解三角形的问题？ 答：利用正弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 由于x∈(0，180°)时，sinx＝m(0＜m＜1)有两解，以及三角形中“大边对大角”的关系，所以第二类问题会出现无解、一解或两解的情况．教学中，可让学生从“已知a，b，A，画三角形”入手，通过画图的过程来寻找a，b，bsinA三者的大小与所画出三角形的个数之间的关系，再结合课本的例题讲解，让学生感悟分类讨论的必要性和方法，并学会严谨规范的表述．教学中要避免抽象的讨论，更不要将所谓的“规律”让学生死背套用．教科书要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，而不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练．因此，在教学中应为学生体验数学解决问题中的作用，感受数学与日常生活的其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力创造条件．例如设计一些开放性、探究性题材，让学生自行探索解决，或由学生自己寻找应用性、研究性问题（包括实地测量等），并建立斜三角形模型加以解决． 问：怎样突出数列与函数的内在联系？ 答：《标准》把数列视为反映自然规律的基本数学模型，要求在教学中通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种表示方法，特别指出要体现数列是一种特殊函数，通过列表、图像、通项公式表示数列，把数列融于函数之中． 数列为学生提供了离散函数的数学模型，将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数相联系起来，有助于提升学生对函数思想的理解水平．教学中，让学生在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，既突出了问题意识，也有助于对数学本质的认识． 本章在引入数列的概念之后，安排了“根据数列的通项公式写出它的前5项，并作出它的图像”和“写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是……”两类例题，就是要学生领悟数列中“项an”与“项数n”之间对应关系的函数思想，借助它与图像的联系，理解数列的通项公式an＝f (n) 就是关于自变量n的函数解析式．在等差数列和等比数列中也分别安排了相应的例题和思考，指出等差数列的通项公式是关于n的一次式，等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积，并画出了相应的图像．这样，从函数的观点、模型的观点、连续与离散之间关系的角度来认识数列，突出了数列的本质． 问：为什么教科书不提等差中项和等比中项的概念？ 答：针对以往数学教学中的“双基异化”倾向，《标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度．这体现了《标准》在内容处理上的一个原则：删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的