数学课堂4.DOC

第7课时　椭　 圆(2)(对应学生用书117～119页) (文科对应学生用书112～114页) 考情分析考点新知 根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题． ①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． ②掌握椭圆的简单应用. 1. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． 答案：＋＝1 解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，则所求椭圆方程为＋＝1. 2. 已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________. 答案：3 解析：依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3. 3. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D, 且＝2，则C的离心率为________． 答案： 解析：解法1：如图，|BF|＝＝a.作DD1⊥y轴于点D1，则由＝2，得＝＝，所以|DD1|＝|OF|＝c，即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－e＝. 解法2：设椭圆方程为＋＝1(a＞b，b＞0)，设D(x2，y2)，F分 BD所成的比为2，xc＝x2＝xc＝c；yc＝y2＝＝＝－，代入＋＝1e＝. 4. 椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝2bx的焦点为F.若＝3，则此椭圆的离心率为________． 答案： 解析：∵F，F1(－c,0)，F2(c,0)，且＝3， ∴＝，＝， ∴＋c＝3c－，即b＝c. ∴a2＝b2＋c2＝2c2， ∴＝e＝. 5. 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________. 答案：4 解析：由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ cos60°＝＝， 即|PF1|·|PF2|＝4. 1. 椭圆的第二定义： 平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率． 2. 椭圆的焦半径 (1) 对于焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ex；|PF2|＝a－ex. (2) 对于焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ey；|PF2|＝a－ey. 题型1　求综合情况下椭圆的基本量 例1　(2010·苏州期末)如图，F1、F2是椭圆＋＝1(ab0)的左、右焦点，点M在x轴上，且＝，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，·＝0. (1)求椭圆的离心率； (2)若△ABF1的周长为4 ，求椭圆的方程． 解：(1) 设F1(－c,0)，F2(c,0)，A(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则M，x0＝c. ∵＝e，∴|AF1|＝a＋ex0.同理，|AF2|＝a－ex0. ∵·＝0，∴AF1⊥AF2， ∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2. ∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2, 即a2＋e2x＝2c2. ∵x0＝c，∴a2＋e2·c2＝2c2, ∴1＋e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0， ∴e2＝或2(舍)．∴椭圆的离心率e＝. (2) ∵△ABF2的周长为4，∴4a＝4， ∴a＝.又∵＝，∴c＝2, ∴b2＝2. ∴椭圆方程为＋＝1. 已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点． (1) 若离心率为，求椭圆的方程； (2) 当·7时，求椭圆离心率的取值范围． 解：(1) 由已知，得c＝m，＝m＋1， 从而a2＝m(m＋1)，b2＝m. 由e＝，得b＝c，从而m＝1. 故a＝，b＝1，得所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)易得A(－m－1，－m－1)，B(m＋1，m＋1)， 从而＝(2m＋1，m＋1)，＝(1，m＋1)， 故·＝2m＋1＋(m＋1)2＝m2＋4m＋27，得0m1. 由此离心率e＝＝＝， 故所求的离心率取值范围为. 题型2　与椭圆第二定义有关的问题 例2　设A，B分别为椭圆＋＝1(ab0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线． (1) 求椭圆的方程； (2) 设P为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线BP于椭圆相交于两点B，N，求证：∠NAP为锐角． (1) 解：依题意，得，解得，从而