暑期班第12讲.平面向量的坐标表示与数量积.学生版.doc

平面向量 平面向量 平面向量的相关概念 B 向量的线性运算 向量加法与减法 C 向量的数乘 C 两个向量共线 B 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的基本定理 A 平面向量的正交分解及其坐标表示 B 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 C 用坐标表示的平面向量共线的条件 C 平面向量的数量积 数量积 C 数量积的坐标表示 C 用数量积表示两个向量的夹角 B 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 C 向量的应用 用向量方法解决简单的问题 B 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件． 了解向量的线形运算性质及其几何意义． 了解平面向量的基本定理及其几何意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件． 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量数量积与向量投影的关系； 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 板块一：向量的坐标表示 （一）知识内容 1．向量的正交分解与向量的直角坐标运算： ⑴ 向量的直角坐标：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． 向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 在直角坐标系内，分别取与轴和轴方向相同的两个单位向量，．这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底，这个基底也叫做直角坐标系的基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作②．其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．⑵ 向量的直角坐标运算： 设，，则 ①；②；③ 说明：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； ② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积． 若，，则向量；一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．．用平面向量坐标表示向量共线条件： 设，，则就是两个向量平行的条件． 若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例． 点、、，若，试求为何值时，点在一、三象限角平分线上． 如图，已知，，求线段的其中一个四等分点的坐标． 若向量与共线且方向相同，求． 在直角坐标系中，已知，，，求证：、、三点共线． 根据力与功的计算，引入向量的数量积运算． 一个力作用于一个物体，使该物体位移，由于图示的力的方向与位移方向有一个夹角，真正使物体前进的力是在物体唯一方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力做的功．即力使物体惟一所做的功可以用计算．向量数量积的物理背景与定义 两个向量的夹角： 已知两个非零向量，，作，，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有．当时，我们说向量和向量互相垂直，记作．向量的数量积（内积）定义 叫做向量和的数量积（或内积），记作，即 ， ，， 若两个向量是首尾相接，需要注意向量所成的角： 已知正的边长为，设，，，求． 如图，与、与、与夹角为， 原式 ．向量内积的性质 是单位向量，则；⊥，且； ，即；；．可通过以下判断题，检验学生关于向量垂直条件的掌握情况对任意向量，有．（√）若，则对任一非零向量，有；（×） 若，，则；（×） 若，则至少有一个为零向量；（×） 若，则当且仅当时成立；（×）2．向量数量积的运算律 交换律：；． 分配律： 根据向量数量积的性质及运算律，可得到以下公式： 完全平方公式：；平方差公式： 3．向量数量积的坐标运算与度量公式 向量内积的坐标运算：建立正交基：，已知，， 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： 向量的长度、距离和夹角公式 已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根． 如果，，则． 两个向量夹角余弦的坐标表达式： 向量内积的坐标运算： ，，得到表达式 在向量垂直条件中，当时，条件，可以写成 也就是说，如果，则向量与平行，上式中的是比例系数． 对任意实数，向量与向量垂直． 例如，向量与向量，…垂直．已知，，与的夹角为，求； 在中，已知，，，求．为非零向量，当的长度取最小值时． 求的值；求证：与垂直． 已知，，，，求证：． 已知，．求，． 已知，，若，求、的值已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹