椭圆习题课(教师版).doc

第 课时 椭圆习题课 【知识结构】 【学习目标】 1.理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法． 2.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义，通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是如何用代数方法研究几何问题，并能初步利用椭圆的几何性质解决问题。 【预学评价】 1. 设为定点，||=6，动点M满足，则动点M的轨迹是_______ 2. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________ 3. 已知椭圆经过两点（，则椭圆的标准方程为 ____ 4. 椭圆的左右焦点为，一直线过交椭圆于A、B两点，则 的周长为 答案： 1.线段 2. 0＜m＜ 4.16 【经典范例一】 例1 已知B2，B1分别是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的上、下顶点，F是C的右焦点，FB1＝2，F到C的左准线的距离是． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是C上与B1，B2不重合的动点，直线B1P，B2P与x轴分别交于点M，N． 求证：·是定值． ＋a＞b＞0FB1＝a＝2，c＋＝a＝2，c＝，b＝1 ＋ y2＝1P(x0，y0)(x0≠0)B1P：＝y＝0得x＝M(，0)B2P：＝y＝0得x＝－ N(－ ，0)(＝－ ． ∵＋y02＝1， ∴1－y02＝， ∴(＝－ ＝4． (为定值． 评注：已知基本量求椭圆的方程或离心率等其它参数是椭圆问题中较为基础和常见的问题，其主要关系式要围绕展开 例2 设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求的值。 解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。 解： 当∠PF2F1=900时，由得： ， ∴ 当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 评注：由|PF1||PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。 【随堂练习一】 1. 已知椭圆 x2+=1(0＜b＜1)的左焦点为，左、右顶点分别为A，C，上顶点为，过F、B、C作⊙，其中圆心的坐标为。 当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围； 直线⊙P能否相切？证明你的结论。 解：(1)设F、B、C(-c, 0)，(0, b)，(1, 0)，FC、BCx=，y-=(x-)，。 m+n=+＞0，b-bc+b2-c＞0 (1+b)(b-c)＞0，∴b＞cb2＞c2a2＞2c2，∴e2＜e＞0，∴0＜e＜⊙P不能相切。由 kAB=b，kPB=， 如果直线AB与⊙P相切，则 b·=-1，又b2+c2=1， 解出c=0或2，与0＜c＜1⊙P不能相切。 2. 椭圆上离顶点A(0，b)B(0，-b)P(x,y)为椭圆上任一点 由 由于，且当时，PA取最大值 ∴ ∴ ∴ 【经典范例二】 例1 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线的距离为10．设A（5，0），B（1，0）． 求椭圆C的方程；过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程；过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点 P 作x轴的垂线交椭圆 C 于另一S ．若 = t（t＞1），求证：= t（1）设椭圆的标准方程为依题意得：，得 ∴ 所以，椭圆的标准方程为． 设过点的直线方程为：，代入椭圆方程得 ()， 依题意得：，即得：，且方程的根为, 当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点，直线 的方程是：， 所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为： 同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：． （3）设，由=得： （**） 要证=，即证 由方程组（**）可知方程组（1）成立,(2)显然成立．∴= 设，分别是椭圆的左、右焦点，与直线相切的⊙交椭圆于点，恰好是直线与⊙的切点. （1）求该椭圆的离心率； （2）若点到椭圆的右准线的距离为，过椭圆的上顶点A的直线与⊙交于B、C 两点，且，求λ的取值范围. （1）由题意可知：的半径为b，⊥，∴(2a-b)2+b2=4(a2-b2) 即2a=3b,所以椭圆的离心率为（2）由椭圆的定义可得：，a=3，∴点的坐标为 ∴圆的方程为 ∴点A在圆外，且AB·AC=5；∴, 若，则，此时；若，则，此时的基础上再找寻一个与有关的等式（或不等式），综合两式，保留，再通过即可解决问题。 例3 在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别 在x轴和y轴上