1.1　正弦定理.doc

1.1　正弦定理 江苏省靖江高级中学 李琴 教学目标： 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量 问题； 2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力； 3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣． 教学重点： 正弦定理及其证明过程． 教学难点： 正弦定理的推导和证明． 教学过程： 一、问题情境 从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系． 探索1　我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt中，设，那么边角之间有哪些关系？ ，，，，，，，,,…… 探索2　在Rt中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二、学生活动 把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立． 学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立． 教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理． 图1 三、建构数学 探索3　这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证明结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论成立？ 师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法． 证法一　若为锐角（图2（1）），过点作于，此时有,，所以,即． 同理可得,所以． （1） 　　　　　　图2　　　　　　　（2） 若为钝角（图2（2）），过点作，交的延长线于，此时有，且，同理可得．综上可得，结论成立． 证法二　利用三角形的面积转化，先作出三边上的高、、，则，，． 所以= =，每项同时除以， 得 探索4　充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？ 在中，有，设为最大角，过点作于，（图3），于是，设与的夹角为，则，其中，当为锐角或者直角时，；当为钝角时，．故可得，即．同理可得．因此． 这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理． 探索5　这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？ 三个式子： ，，． 每个式子中都有四个量，如果已知其中三个可求出第四个． 正弦定理可以解决两类三角形问题： （1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理求出第三角，再使用正弦定理）； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 四、数学运用 例题 在中： （1）已知，，，求，，； （2）已知，，，求，，； （3）已知，，，解这个三角形． 解　（1）由正弦定理得，即， 因此　　 所以　　，或． 由于　　 故　　　也符合要求，从而本题有两个解或． 　　　①当时，， ． 　　　②当时， ． （2）由正弦定理得，即 所以,或． 由于，故不符合要求， 从而本题只有一解 ， ． （3）由正弦定理得，所以无解． 学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？ 巩固练习： 1.（口答）一个三角形的两角和边分别是和，若角所对边的长为8，那么角所对边的长是 . 2.(板演) 在中： （1）已知，求，； （2）已知，求，． 3.（板演）根据下列条件解三角形： （1），， （2），， 五、回顾小结 本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称．它可以解决斜三角型中这样的几类问题：已知三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；已知三角形中的两角与任意一边，可求出其他的边和角；已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的两个元素，可研究出另外两个元素的关系． 六、课外作业 课本P10习题1.1第1，2题． 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 图3 C A D B c a b