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第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 复习引入 线段公理： 两点之间，线段最短. 垂线段性质： 垂线段最短. A B 最短 路径 问题 B A l 问题1 　　如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？ A B l l A B C C 转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？ 分析： A B l 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？ 联想： 两点之间，线段最短. l A B C （1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？ 分析： l A B C l A B C l A B C B′ 如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？ 如上右图，在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求. l A B C B′ 在直线 l 上任取另一点C′ ， 连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． ∵直线 l 是点B、B′的对称轴， 点C、C′在对称轴上， ∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，AB′ AC′+B′C′， ∴AC+BC AC′+B′C′， 即AC+BC最小． l A B C B′ C′ 证明：如图. 问题1 归纳 l A B C l A B C B′ l A B C 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 A B l 问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？ 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？ 分析： a B A b M N 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 分析： l A B C a B A b M N A 如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. a B A b M N A 解： 另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′. ∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′. 在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B， ∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN. 证明： a B A b M N A N′ M′ 问题2 归纳 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 l A B C 小结归纳 l A B C l A B C B′ 轴对称 变换 平移 变换 两点之间，线段最短. 如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线. 草 地 小 河 A 课堂练习 已知：如图，在l1、l2之间有一点A. 求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小. l1 l2 A M N l1 l2 如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2， 连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点. 连接AM和AN，则AM+MN+NA最小. 因此，那天这样走路线最短. M N A1 A A2 课堂小结 A B 线段公理： 两点之间，线段最短. 最短 路径 问题 垂线段性质： 垂线段最短. B A l 教材复习题13 第15题. 课后作业 1.必做作业 你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识. 如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于