2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷完整版）.doc

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I 参考公式： 圆柱的体积公式：，其中为圆柱的表面积，为高. 圆锥的体积公式：，其中为圆锥的底面积，为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，70分请把答案填在答题卡相应位置上． 1. 已知集合，，则集合中元素的个数为 ▲ ． ▲ ．满足（是虚数单位），则的模为 ▲ ．为 ▲ ． ▲ ．，b=, 若ma+nb=(), 的值为 ▲ ．的解集为 ▲ ．，，则的值为 ▲ ． ▲ ．为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．满足，且(), 则数列前10项的和为 ▲ ．为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数， 则方程实 根的个数为 ▲ ．=()，()，则的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 中，已知. （1）求的长； （2）求的值. 16．（本题满分14分） 中，已知， ，设的中点为，. 求证：（1）； （2）. 17.（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边 界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到 的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 18．（本小题满分16分） xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程. 19.（本小题满分16分）. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值. 20.（本小题满分16分） 设是各项为正数且公差为d的等差数列 （1）证明：依次成等比数列； （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说 明理由. ★ 启用前绝密 2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学II 21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.（选修4—1：几何证明选讲）中，，的外接圆圆O的弦交于点D 求证：∽. B．（选修4—2：矩阵与变换），向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值. C．（选修4—4：坐标系与参数方程）D.（选修4—5：不等式选讲） 必做题第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题的指定区域内.22．（本小题满分10分）中，已知平面，且四边形为直角梯 形，, （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长. 23．本小题满分10分，， ，令表示集合所含元素的个数. （1）写出的值； （2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明. 1 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 ( 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．