概率论与数理统计3.1详解.ppt

Ch3-* 第 三 章 多维 随机变量及其分布 从本讲起，我们开始第三章的学习. 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 它是第二章内容的推广. §1 二维随机变量及其分布函数 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等. §1 二维随机变量及其分布函数 一般地, 设 是一个随机试验, 它的样本空间是 设 是定义在 上的随机变量, 由它们构成的一个 维向 量 叫做 维随机向量 或 维随机变 量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 . §1 二维随机变量及其分布函数 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。 S e X(e) Y(e) §1 二维随机变量及其分布函数 注 意 事 项 §1 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量的例子 §1 二维随机变量及其分布函数 如果对于任意实数 二元 函数 称为二维随机变量 的分布函数, 或者称为随机 变量 和 的联合分布函数. 定义 设 是二维 随机变量, 二维随机变量的分布函数 §1 二维随机变量及其分布函数 将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标, 那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 分布函数的函数值的几何解释 §1 二维随机变量及其分布函数 §1 二维随机变量及其分布函数 §1 二维随机变量及其分布函数 4. 随机点 落在矩形域 内的概率为 §1 二维随机变量及其分布函数 y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 说 明 上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数（证明略）． §1 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函 数 而 和 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数. 依次称为二维随机 二维随机变量边缘分布函数 §1 二维随机变量及其分布函数 Ch3-* 例1 设 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？ 解 x+ y = 1 x y ? (0,0) ? (2,0) ? (2,2) ? (0,2) 故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数. 例1 §1 二维随机变量及其分布函数 n维随机变量的分布函数 §1 二维随机变量及其分布函数