概率论与数理统计第5讲详解.ppt

Copyright 2005 ? Sichuan University 鲜大权概率论与数理统计讲义 概率论与数理统计第5讲 上讲概要 * 纲要 1、第4讲复习 2、连续型随机变量及其密度函数。 3、重要的连续型随机变量。 4、随机变量的函数的分布。 5、小结 西南科技大学理学院 鲜 大 权 分布律 分布函数 1、随机变量及其分类 2、离散型随机变量及其分布律 两点分布， 二项分布，泊松分布。 3、随机变量的分布函数及其性质 1）单调不减性； 2）归一 性； 3）右连续性 4、离散型随机变量分布律与分布函数的关系 则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度。常记为X~ f(x) (-? x +?)， f(x)dx称为概率元素。 一. 连续型r.v及其密度函数 1、密度函数定义：若对于随机变量 X 的分布函数F(x), 存在非负函数f(x)，使对于任意实数x有 2、密度函数的几何意义： §4　连续型随机变量及其密度函数 3、 密度函数的性质 性质1）2）是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 密度函数的充要条件. 4、讨论与备注： 5、应用举例 例1、设随机变量X的分布函数为 求f(x)。 例2. 已知随机变量X的概率密度为 例3.（2006期末，12分） 求F(x)。 阅读P52例1 例3解： 1、均匀分布：若 r.vX的概率密度为： 则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记为X ～ U(a, b)。 二、几种重要的连续型分布 阅读P55 例2 注：该分布常用于如下问题： 1)数值计算中，四舍五 入时小数点后某一位小数引入的误差； 2)公交路上两公共汽车前后通过某停车站，乘客候车时间等。 例4 设r.v.X～ U(a, b),求X的分布函数F(x),并画出图形。 则称 X 服从参数为θ的指数分布。记为 X~E(θ) 注：1）指数分布常用于元件的寿命描述等。故也称此为寿命分布。 2）概率密度也可表达为如下形式： 2、指数分布：若 r.v X具有概率密度 例5 设r.v.X～ E(θ) ,求X的分布函数F(x),并画出图形。 3、正态分布(Gauss分布) 1）定义：若r.v X的概率密度为 其中μ,σ(σ0)为常数，则称X服从参数为μ,σ的正态分布。记作X～( μ,σ2 ) 2）性质： a)单峰对称性； b)单调性, σ的大小影响概率分布的集中程度。 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线，是一条关于μ对称的钟形曲线。 特点：“两头小，中间大，左右对称”。 注：正态分布在概率统计中占有特别重要的地位。它的实际应用最广泛，理论 研究最多。 μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度. 参数对图形的影响 3）X的分布函数 4）标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布。 其密度函数和分布函数分别用 和 表示： 书末P439附有标准正态分布表，可查出标准正态分布的概率。 注：(1) ?(x)＝1－ ?(－x)； (2) 若X～N(?, ?2)，则 5）正态分布标准化：任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。 P59 引理： P60 例3 一、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 -1，0，1，2时， Y 对应值 4，1，0，1 例1 设X～ 求 Y = (X –1)2 的概率函数. 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 故 0.2 0.3 0.1 0.4 p -1 0 1 2 X 0.1 0.7 0.2 p 0 1 4 Y Y～ §5 随机变量的函数的分布 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可. 一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为 X ～ p1 p2 … pn p x1 x2 … xn X p1 p2 … pn p g(x1) g (x2) … g(xn) Y 则 Y=g(X) ～ 二、连续型随机变量函数的分布 解：设Y的分布函数为 FY(y)， 例2 设 X ～ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数 例3 设 X 具有概率密度