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第四章 随机变量的数字特征 一．考点：1、数学期望： （1）离散型：设，绝对收敛，则称为的数学期望，记为：=。又。若，则 （2）连续型：若，则（绝对收敛），。 若的联合密度为，则。 （3）性质：，特别。 若相互独立，则 推广：若相互独立，则 2．方差：（1）定义：，叫X的标准差。 （2）计算公式： （3）性质：设相互独立，则，特别。 注意：一般， 3．几类常用分布的期望与方差： （1）分布：，， （2）：， （3）：， （4），， （5）， （6）， （7） 4．协方差与相关系数： （1）协方差定义： （2）协方差计算公式： 特别：；与中有一个常数时，。 （3）相关系数： （4）性质： 注：涉及“代数和”的协方差时，优先用此公式化简。 ，且，且时，，时，。 若，则称与不相关。 、相互独立 一般： 5．正态分布的独立性与相关性质的关系： （1）设（，）服从二维正态分布，则有： 、独立、不相关； 、都服从（一维）正态分布； （不要求、独立）服从一维正态分布。 （2）设、都服从（一维）正态分布，则 、独立 、不相关 服从二维正态分布 服从一维正态分布 、不相关 、独立 服从二维正态分布 服从一维正态分布 6．矩 ：的阶原点矩 ：的阶中心矩 二．题型： 1．已知分布求其或其函数的数字特征：分一维或二维，离散或连续等情形直接用计算公式。 例53．设在上服从均匀分布，且 ，求。 分析：是离散型随机变量，先求的分布律。 的分布律为： ， -1 0 1 例54．设的联合分布律为 求： 分析：先求出，的联合分布律与边缘分布律，再用计算公式求协方差。 解： ； ； 0 1 0 1 0.18 0.22 0.32 0.28 0.4 0.6 0.5 0.5 且 ，填表： 其它数据利用联合分布律与边缘分布律的关系求出： 例55．设二维随机变量在矩形域上服从均匀分布，记 ， ，求和的相关系数。 分析：先求出的联合分布律及边缘分布律。 解： 0 1 2 ， 而 0 1 0 1 1/4 1/4 0 1/4 1/2 1/2 1/4 3/4 可填表： （其它数据利用联合分布律与 边缘分布律的关系算出） ， ， ， ， ， ， ， 例56．设随机变量、的联合分布是在以点、、为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求的方差。 解：连续型随机变量，应先求其联合密度。 设，则是的联合密度。 (0,1) (1,1) 0 (1,0)