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第四节 古典概型与几何概型 一、古典概型 一、古典概型 典型例题 小 结 目录 上页 下页 结束 概率统计教研室 目录页 上一页 下一页 结束页 一、古典概型 二、典型例题 三、小结 研究随机事件时，不仅希望了解哪些随机事件可能出现，而且希望知道事件出现的可能性的大小。 我们用[0，1]中的一个数来表示随机事件A发生的可能性大小，并称之为该事件的概率，记为P(A)。 下面沿概率论的发展轨迹介绍计算概率的几种典型。 1. 定义 “抛硬币” 、“掷骰子”等随机试验的特征： 每个基本结果的出现是等可能的 样本空间中只有有限个基本结果 设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事件A出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式 称此为概率的古典定义. (1) 有放回地摸球 问题1：设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率. 解 第1次摸球 10种 第2次摸球 10种 第3次摸球 10种 6种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球 4种 第3次摸到红球 3. 古典概型的基本模型:摸球模型 球是可辨的[如对其进行编号]，以保证等可能性； 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 3. 古典概型的基本模型:摸球模型 3. 古典概型的基本模型:摸球模型 (2) 无放回地摸球 问题2：设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无放回地一次任意摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 问题3：设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无放回地依次任意摸出2只球,求这2只球都是白球的概率. 4.古典概型的基本模型:分房模型 (1)杯子容量无限 问题1：把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率（其中假设每个杯子可放任意多个球）. 4个球放到3个杯子的所有放法 因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为 4.古典概型的基本模型:分房模型 (2) 每个杯子只能放一个球 问题2： 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球, 求第1至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为 4.古典概型的基本模型:分房模型 球 --- 粒子，盒子 ---- 空间中的小区域, 则这个问题相应于统计物理学中的马克斯威尔·波尔茨曼（Maxwell-Boltzmann）统计。 概率论历史上有名的问题 --- 生日问题 参加某次聚会共 个人, 求没有两人生日相同的概率 只球 个人 个人生日各不相同 ,则 天 个盒子 至少有两人生日相同 结果有点出乎人们意料 从0，1，2，……，9共十个数中随机取4个，求下列事件的概率： （1）A1：4个数中不含1和8； （2）A2：4个数中既含1也含8； （3）A3：4个数中不含1或8。 〖解〗显然，基本事件总数[十取四的组合] ： [除1,8外的八取四的组合] 5.古典概型的基本模型:随机取数模型 [1,8必取，再在除1,8外的八取二的组合，乘法原理] [不含“1或8”分为互斥的三类：含1不含8，含8不含1，既不含1也不含8，加法原理] 故所求概率分别为： ■ 解 袋中有5只红球和6只黑球，现从中任意取出 2只球，试求下列事件的概率： （1）取出的2只全为红球； （2）取出的2只球中一只为红球一只为黑球； （3）取出的2只球中至少有一只黑球。 设：A=“取出的2只全为红球”； B=“取出的2只中红球、黑球各一”； C=“取出的2只中至少有一只黑球”。 〖解〗 典型例题（摸球） 取出的2只全为红球 取出的2只中红球、黑球各一个 取出的2只中至少有一只黑球 例3 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ? 设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为 解 典型例题（随机取数） 于是所求概率为 典型例题 例4 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数: (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有 典型例题（分房） 因此所求概率为 (2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 因此所求概率为 典型例题 注记 在实际应用中，概率非常接