概率论与数理统计知识要点详解.doc

知识要点 一 概念： 1 随机事件：用等表示 互不相容： 互逆： 且 ，此时， 互逆 互不相容 ，反之不行 相互独立： 或 2 随机事件的运算律： (1) 交换律 ： (2) 结合律 ： (3) 分配律 ： (4 ) De Morgen 律（对偶律） 推广： 3 随机事件的概率： 有界性 若 则 条件概率 4 随机变量： 用大写表示 . 若与相互独立的充分必要条件是 若与是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是 若与是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是 若与不相关，则 或 独立不相关 反之不成立 但当与服从正态分布时 ，则相互独立 不相关 相关系数： 且当且仅当时，并且 二 两种概率模型 古典概型 ： 所包含的基本事件的个数 ；总的基本事件的个数 伯努利概型 ： 次独立试验序列中事件恰好发生次的概率 次独立试验序列中事件发生的次数为到之间的概率 次独立试验序列中事件至少发生次的概率 特别的 ，至少发生一次的概率 三 概率的计算公式： 加法公式： 若互不相容 ,则 推论： 推广： 若，互不相容，则 乘法公式：或 若相互独立 ， 推广： 若它们相互独立，则 全概率公式：若 为随机事件，互不相容的完备事件组，且 则 注： 常用作为互不相容的完备事件组 有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概率问题. 用全概率公式解题的程序： 判断所求解的问题 是否为全概率问题 若是全概率类型，正确的假设事件及 ，要求是互斥的完备事件组 计算出 代入公式计算结果 四 一维随机变量： 1 分布函数： 性质：（1） 若 ，则 若是离散随机变量，则是右连续的 若是连续随机变量，则是连续的 （有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数） （4） 即 即 （ 此性质常用来确定分布函数中的常数） 利用分布函数计算概率： 一维离散随机变量： 概率函数： （分布律） 性质： （此性质常用来确定概率函数中的常数） 已知概率函数求分布函数 一维连续随机变量： 概率密度 性质： （1） 非负性 （2）归一性： （常用此性质来确定概率密度中的常数） 分布函数和概率密度的关系： （注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用概率密度求概率 五 一维随机变量函数的分布： 离散情形 ： 列表 、整理、合并 连续情形： 分布函数法. 先求的分布函数 ，再求导 六 二维随机变量： 联合分布函数 ： 性质： （1） （2） （3） （4） （此极限性质常用来确定分布函数中的常数） 边缘分布函数： 二维离散随机变量： 联合概率函数 列表 边缘概率函数： 二维连续随机变量： 联合概率密度 性质 （1） （2）（常用此性质来确定概率密度中的常数） 联合分布函数与联合概率密度的关系 （注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 利用联合概率密度求概率 已知联合概率密度求边缘概率密度 （注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数） 二维随机变量函数的分布 1 离散情形 2 连续情形： 七 随机变量的数字特征： 若为离散随机变量： 若为连续随机变量： 二维情形 若为二维连续随机变量，则 若为二维离散随机变量，则 随机变量的函数的数学期望： 若为离散随机变量： 若为连续随机变量 方差：定义 方差的计算公式： 注意这个公式的转化： 协方差：，相关系数 关于期望的定理：